Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, o tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por
f(t)= 140(t-4), & se 8 <= t<10 320, & se 10 <= t <= 15, 0, & se t<8 ou t>15
© Qual a variância de T?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre medir o tempo que crianças levam para fazer um teste de raciocínio verbal e lógico. Esse tempo, chamado de $ T $, é uma variável contínua que segue uma certa distribuição de probabilidade. Nosso objetivo aqui é descobrir a variância dessa variável, ou seja, entender o quanto os tempos de teste tendem a variar em torno da média. Para isso, vamos precisar usar conceitos de expectativa matemática (média) e variância para variáveis contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a variância. A variância ($ Var(T) $) mede a dispersão dos valores de $ T $ em relação à sua média ($ E[T] $). Ela é calculada pela fórmula:
Var(T)
Então, precisamos primeiro encontrar $ E[T] $ e $ E[T^2] $.

Passo 3

Vamos calcular a média ($ E[T] $). A média de uma variável contínua é dada por:
E[T]
No nosso caso, como $ f(t) = 0 $ para $ t < 8 $ e $ t > 15 $, a integral vai de 8 a 15. Além disso, a função $ f(t) $ é definida de duas formas diferentes nesse intervalo, então vamos dividir a integral em duas partes:
E[T] = integral-infty^+infty t cdot f(t) , dt
Vamos resolver cada parte:
  1. Primeira parte ($ 8 \leq t < 10 $):
f(t) = 0
Integrando:
t < 8
  1. Segunda parte ($ 10 \leq t \leq 15 $):
t > 15
Agora, somando as duas partes:
f(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E[T^2] $, que é a expectativa do quadrado de $ T $:
E[T^2]
Vamos resolver cada parte:
  1. Primeira parte ($ 8 \leq t < 10 $):
T
Integrando:
E[T^2] = integral8^10 t^2 cdot 140(t - 4) , dt + integral10^15 t^2 cdot 320 , dt
Simplificando:
8 <= t < 10
  1. Segunda parte ($ 10 \leq t \leq 15 $):
integral8^10 t^2 cdot 140(t - 4) , dt = 140 integral8^10 t^2(t - 4) , dt = 140 integral8^10 (t^3 - 4t^2) , dt
Somando as duas partes:
140 [ t^44 - 4t^33 ]8^10 = 140 ( ( 100004 - 40003 ) - ( 40964 - 20483 ) )

Passo 5

Agora que temos $ E[T] $ e $ E[T^2] $, podemos calcular a variância usando a fórmula:
E[T]
Substituindo os valores que encontramos:
E[T^2]
Vamos simplificar os denominadores:
Parece que houve um erro no cálculo. Vamos refazer com precisão:
Primeiro, calculamos $ (E[T])^2 $:
Var(T) = E[T^2] - (E[T])^2
Agora, $ E[T^2] \approx 139,38 $:
Var(T) = 836360 - ( 1397120 )^2 = 836360 - 194160914400

Resposta

A variância de $ T $ é aproximadamente 4,07 minutos².

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