Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera
, o tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por
© Qual a variância de T?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre medir o tempo que crianças levam para fazer um teste de raciocínio verbal e lógico. Esse tempo, chamado de $ T $, é uma variável contínua que segue uma certa distribuição de probabilidade. Nosso objetivo aqui é descobrir a variância dessa variável, ou seja, entender o quanto os tempos de teste tendem a variar em torno da média. Para isso, vamos precisar usar conceitos de expectativa matemática (média) e variância para variáveis contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a variância. A variância ($ Var(T) $) mede a dispersão dos valores de $ T $ em relação à sua média ($ E[T] $). Ela é calculada pela fórmula:
Então, precisamos primeiro encontrar $ E[T] $ e $ E[T^2] $.
Passo 3
Vamos calcular a média ($ E[T] $). A média de uma variável contínua é dada por:
No nosso caso, como $ f(t) = 0 $ para $ t < 8 $ e $ t > 15 $, a integral vai de 8 a 15. Além disso, a função $ f(t) $ é definida de duas formas diferentes nesse intervalo, então vamos dividir a integral em duas partes:
Vamos resolver cada parte:
- Primeira parte ($ 8 \leq t < 10 $):
Integrando:
- Segunda parte ($ 10 \leq t \leq 15 $):
Agora, somando as duas partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ E[T^2] $, que é a expectativa do quadrado de $ T $:
Vamos resolver cada parte:
- Primeira parte ($ 8 \leq t < 10 $):
Integrando:
Simplificando:
- Segunda parte ($ 10 \leq t \leq 15 $):
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora que temos $ E[T] $ e $ E[T^2] $, podemos calcular a variância usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar os denominadores:
Parece que houve um erro no cálculo. Vamos refazer com precisão:
Primeiro, calculamos $ (E[T])^2 $:
Agora, $ E[T^2] \approx 139,38 $:
Resposta
A variância de $ T $ é aproximadamente 4,07 minutos².