O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua X que tem função de densidade
f(x)= x, & 0á
Determine
(b) a probabilidade de que [X>1,3];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ que representa o total de horas (em unidades de 100 horas) que uma família usa o aspirador de pó em um ano. A função de densidade de probabilidade $ f(x) $ está definida por pedaços. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de que $ X > 1,3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função de densidade de probabilidade $ f(x) $. Ela nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto $ x $. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um certo intervalo, a gente integra essa função nesse intervalo.

Passo 3

No caso, queremos $ P(X > 1,3) $, ou seja, a probabilidade de $ X $ ser maior que 1,3. Isso equivale a calcular a área sob a curva de $ f(x) $ de $ x = 1,3 $ até o final do intervalo onde $ f(x) $ é diferente de zero, que nesse caso é $ x = 2 $.

Passo 4

Observando a função de densidade dada:
f(x) = x, & 0 < x < 1 2 - x, & 1 <= x < 2 0, & caso contrário á
Para $ x = 1,3 $, estamos na segunda parte da função, onde $ f(x) = 2 - x $.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para calcular $ P(X > 1,3) $:
P(X > 1,3)

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
integral (2 - x) , dx = 2x - x^22
Agora, avaliamos de $ x = 1,3 $ até $ x = 2 $:
x = 1,3

Passo 7

Calculando cada parte:
(4 - 42) = 4 - 2 = 2
(2,6 - 1,692) = 2,6 - 0,845 = 1,755
Então:
2 - 1,755 = 0,245

Resposta

A probabilidade de que $ X > 1,3 $ é $ 0,245 $ ou 24,5%.

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