Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura
de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
Determine
(e) a variância de
.
(e) a variância de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a variância do ponto onde um cabo de 10 metros pode se partir. A probabilidade de ruptura nesse ponto está descrita pela função densidade de probabilidade $ f(x) = c \cdot x $ para $ 0 < x < 10 $. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade contínua, encontrar o valor de $ c $, calcular a média $ E[X] $ e a segunda média $ E[X^2] $, e finalmente usar a fórmula da variância.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ c $ para que $ f(x) $ seja uma função de densidade de probabilidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ de 0 a 10 deve ser igual a 1.
Passo 3
Vamos calcular essa integral:
Igualando a 1:
Passo 4
Agora que temos $ c = \frac{1}{50} $, podemos reescrever a função de densidade de probabilidade:
Passo 5
Vamos calcular a média $ E[X] $, que é dado por:
Passo 6
Calculando a integral:
Então, $ E[X] = \frac{20}{3} $ metros.
Passo 7
Agora, vamos calcular $ E[X^2] $:
Passo 8
Calculando essa integral:
Então, $ E[X^2] = 50 $ metros quadrados.
Passo 9
Finalmente, a variância $ Var(X) $ é dada por:
Resposta
A variância de $ X $ é $ \frac{50}{9} $ metros quadrados, ou aproximadamente 5,5556 m².