Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura X de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
f(x)= c x, & se 0= 10
Determine
(e) a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a variância do ponto onde um cabo de 10 metros pode se partir. A probabilidade de ruptura nesse ponto está descrita pela função densidade de probabilidade $ f(x) = c \cdot x $ para $ 0 < x < 10 $. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade contínua, encontrar o valor de $ c $, calcular a média $ E[X] $ e a segunda média $ E[X^2] $, e finalmente usar a fórmula da variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ c $ para que $ f(x) $ seja uma função de densidade de probabilidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ de 0 a 10 deve ser igual a 1.
c

Passo 3

Vamos calcular essa integral:
c cdot integral0^10 x , dx = c cdot [ x^22 ]0^10 = c cdot ( 10^22 - 0 ) = c cdot 50
Igualando a 1:
c cdot 50 = 1 implies c = 150

Passo 4

Agora que temos $ c = \frac{1}{50} $, podemos reescrever a função de densidade de probabilidade:
c = 150 á

Passo 5

Vamos calcular a média $ E[X] $, que é dado por:
E[X]

Passo 6

Calculando a integral:
150 cdot [ x^33 ]0^10 = 150 cdot ( 10003 - 0 ) = 1000150 = 203 approx 6,!6667
Então, $ E[X] = \frac{20}{3} $ metros.

Passo 7

Agora, vamos calcular $ E[X^2] $:
E[X^2]

Passo 8

Calculando essa integral:
150 cdot [ x^44 ]0^10 = 150 cdot ( 100004 - 0 ) = 250050 = 50
Então, $ E[X^2] = 50 $ metros quadrados.

Passo 9

Finalmente, a variância $ Var(X) $ é dada por:
Var(X)

Resposta

A variância de $ X $ é $ \frac{50}{9} $ metros quadrados, ou aproximadamente 5,5556 m².

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