O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua X que tem função de densidade
f(x)= x, & 0á
Determine
(d) a média de X;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua $ X $, que representa o número total de horas (em unidades de 100 horas) que uma família usa um aspirador de pó em um ano. A função de densidade dessa variável é dada de forma diferente para intervalos distintos de $ X $. Nosso objetivo aqui é encontrar a média de $ X $, ou seja, o valor esperado dessa variável.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a média de uma variável aleatória contínua, usamos a fórmula:
E[X] = integral-infty^+infty x cdot f(x) , dx
Aqui, $ \mathbb{E}[X] $ representa a média de $ X $, e $ f(x) $ é a função de densidade de $ X $. No nosso caso, $ f(x) $ é diferente em certos intervalos, então vamos dividir essa integral de acordo com esses intervalos.

Passo 3

Vamos identificar os intervalos onde $ f(x) $ muda:
  1. De $ 0 $ a $ 1 $: $ f(x) = x $
  2. De $ 1 $ a $ 2 $: $ f(x) = 2 - x $
  3. Fora desses intervalos: $ f(x) = 0 $
Como fora de $ 0 $ a $ 2 $ a função é zero, não precisamos considerar esses valores na integral. Então, nossa integral para a média fica:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
integral0^1 x cdot x , dx = integral0^1 x^2 , dx
Integrando $ x^2 $:
x^2
Avaliado de $ 0 $ a $ 1 $:
integral x^2 , dx = x^33 + C
Segunda Integral:
0
Integrando $ 2x - x^2 $:
1
Avaliado de $ 1 $ a $ 2 $:
x^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a média de $ X $:
X

Resposta

A média de $ X $ é igual a 1.

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