Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida T (em 1.000 horas) com função densidade de probabilidade
f(t)=e^-t, t>0
© Determine o valor médio de T;

Passo 1

Estamos lidando com um problema de Probabilidade, especificamente sobre a distribuição de uma variável aleatória contínua. O enunciado nos diz que o tempo de vida T de um mecanismo eletrônico tem uma função densidade de probabilidade f(t) = e^-t para t > 0. Precisamos determinar o valor médio de T, ou seja, a esperança matemática de T.

Passo 2

Para encontrar o valor médio de T, precisamos calcular a esperança matemática, que é uma medida que nos dá o valor médio esperado da variável aleatória. A esperança matemática de uma variável contínua é basicamente a média ponderada de todos os valores possíveis que essa variável pode assumir, onde os pesos são dados pela função densidade de probabilidade.

Passo 3

A fórmula para a esperança matemática de uma variável contínua é dada por:
E[T] = integral0^infty t cdot f(t) , dt
Aqui, E[T] representa o valor médio de T, e f(t) é a função densidade de probabilidade.

Passo 4

Substituindo a função densidade de probabilidade f(t) = e^-t na integral, temos:
E[T] = integral0^infty t cdot e^-t , dt
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Vamos escolher:
  • u = t \quad (então, du = dt)
  • dv = e^-t dt \quad (então, v = -e^-t)
Aplicando a fórmula da integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du), temos:
E[T] = -t e^-t |0^infty + integral0^infty e^-t dt
Vamos analisar os termos:
  1. O primeiro termo, -t e^-t, quando avaliamos de 0 a infty, tende a 0 tanto quando t tende a infinito quanto quando t é 0.
  2. O segundo termo é uma integral simples:
integral0^infty e^-t dt = [-e^-t]0^infty = 0 - (-1) = 1

Resposta

O valor médio de T é 1 (em 1.000 horas).

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