Estamos lidando com um problema de Probabilidade, especificamente sobre a distribuição de uma variável aleatória contínua. O enunciado nos diz que o tempo de vida de um mecanismo eletrônico tem uma função densidade de probabilidade para . Precisamos determinar o valor médio de , ou seja, a esperança matemática de .
Passo 2
Para encontrar o valor médio de , precisamos calcular a esperança matemática, que é uma medida que nos dá o valor médio esperado da variável aleatória. A esperança matemática de uma variável contínua é basicamente a média ponderada de todos os valores possíveis que essa variável pode assumir, onde os pesos são dados pela função densidade de probabilidade.
Passo 3
A fórmula para a esperança matemática de uma variável contínua é dada por:
Aqui, representa o valor médio de , e é a função densidade de probabilidade.
Passo 4
Substituindo a função densidade de probabilidade na integral, temos:
Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Vamos escolher:
\quad (então, )
\quad (então, )
Aplicando a fórmula da integração por partes (), temos:
Vamos analisar os termos:
O primeiro termo, -t e^-t, quando avaliamos de 0 a infty, tende a 0 tanto quando t tende a infinito quanto quando t é 0.