Dadas as equações de Maxwell no vácuo:
(a) Deduza a equação de continuidade. (Sugestão:
campo vetorial
).
(b) Utilizando as equações de Maxwell na ausência de fontes (isto é,
), mostre que
e
satisfazem as equações de onda. Qual é a velocidade de propagação desta onda? (Sugestão: Lembre-se de que
.
(b) Utilizando as equações de Maxwell na ausência de fontes (isto é,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) deduzir a equação de continuidade a partir das equações de Maxwell no vácuo e (b) mostrar que, sem fontes (ρ=0 e J=0), os campos
e
satisfazem equações de onda, identificando a velocidade de propagação. Vamos usar as identidades vetoriais e as equações (1)–(4) dadas.
Passo 2
Para deduzir a equação de continuidade, aplicamos a divergência na equação de Maxwell–Ampère (4):
Como
por identidade, fica
Passo 3
Agora substituímos
(equação (1)) e dividimos por
:
Essa é a equação de continuidade.
Passo 4
Na região livre de cargas e correntes (
,
), as equações relevantes ficam
Passo 5
Para obter a equação de onda para
, aplicamos
em
e usamos
$$
abla\times(\nabla\times\vec E)=\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E
\nabla\times\vec B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}
-\nabla^2\vec E=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}
\nabla^2\vec E=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}
$$
Passo 6
O mesmo raciocínio vale para
: aplicando
em
, usando
e
, obtemos
Passo 7
Essas equações são do tipo
logo a velocidade de propagação é
$$
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
Resposta
Equação de continuidade:
. Em região sem fontes (
):
e
,
com velocidade de propagação .
com velocidade de propagação