Dadas as equações de Maxwell no vácuo:
ll (1) nabla cdot E=rhoepsilono & (2) nabla times E=-partial Bpartial t (3) nabla cdot B=0 & (4) nabla times B=muo epsilono partial Epartial t+muo J
(a) Deduza a equação de continuidade. (Sugestão: nabla cdot(nabla times X)=0, forall campo vetorial X ).
(b) Utilizando as equações de Maxwell na ausência de fontes (isto é, rho=J=0 ), mostre que E e B satisfazem as equações de onda. Qual é a velocidade de propagação desta onda? (Sugestão: Lembre-se de que .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) deduzir a equação de continuidade a partir das equações de Maxwell no vácuo e (b) mostrar que, sem fontes (ρ=0 e J=0), os campos vec E e vec B satisfazem equações de onda, identificando a velocidade de propagação. Vamos usar as identidades vetoriais e as equações (1)–(4) dadas.

Passo 2

Para deduzir a equação de continuidade, aplicamos a divergência na equação de Maxwell–Ampère (4):
nablacdot(nablatimesvec B)=mu0epsilon0partialpartial t(nablacdotvec E)+mu0nablacdotvec J
Como nablacdot(nablatimesvec B)=0 por identidade, fica
0=mu0epsilon0partialpartial t(nablacdotvec E)+mu0nablacdotvec J

Passo 3

Agora substituímos nablacdotvec E=rho/epsilon0 (equação (1)) e dividimos por mu0:
0=epsilon0partialpartial tl(rhoepsilon0r)+nablacdotvec J Rightarrow partialrhopartial t+nablacdotvec J=0
Essa é a equação de continuidade.

Passo 4

Na região livre de cargas e correntes ( rho=0, vec J=0), as equações relevantes ficam
nablatimesvec E=-partialvec Bpartial t, nablatimesvec B=mu0epsilon0partialvec Epartial t

Passo 5

Para obter a equação de onda para vec E, aplicamos nablatimes em nablatimesvec E e usamos
$$
abla\times(\nabla\times\vec E)=\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E
ablatimes(nablatimesvec E)=nabla(nablacdotvec E)-nabla^2vec E
\nabla\times\vec B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}
nablacdotvec E=0
-\nabla^2\vec E=-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}
nablatimesvec B=mu0epsilon0partialvec Epartial t
\nabla^2\vec E=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}
$$

Passo 6

O mesmo raciocínio vale para vec B: aplicando nablatimes em nablatimesvec B, usando nablacdotvec B=0 e nablatimesvec E=-partialtvec B, obtemos
nabla^2vec B=mu0epsilon0partial^2vec Bpartial t^2

Passo 7

Essas equações são do tipo
nabla^2vec X=1v^2partial^2vec Xpartial t^2
logo a velocidade de propagação é
$$
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$

Resposta

Equação de continuidade: partialrhopartial t+nablacdotvec J=0. Em região sem fontes ( rho=0,,vec J=0):
nabla^2vec E=mu0epsilon0,partialt^2vec E e
nabla^2vec B=mu0epsilon0,partialt^2vec B,
com velocidade de propagação c=1/raizmu0epsilon0.

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