Mostre que o seguinte campo eletromagnético satisfaz as equações de Maxwell:
& Ex=Ey=0 & Ez=cos (y-c t) & Bx=cos (y-c t) & By=Bz=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o campo eletromagnético dado por
E_x=E_y=0, E_z=\cos(y-ct)
B_x=\cos(y-ct), B_y=B_z=0
satisfaz as equações de Maxwell em vácuo. O conteúdo envolve as operações de divergência e rotacional de campos vetoriais e as derivadas temporais das componentes de E e B, usando unidades gaussianas (onde aparece o fator 1/c nas equações de Maxwell).

Passo 2

Em unidades gaussianas, as equações de Maxwell em vácuo (sem cargas nem correntes) são:
nablacdot E = 0, nablacdot B = 0,
nablatimes E = -tfrac1c,tfracpartial Bpartial t, nablatimes B = tfrac1c,tfracpartial Epartial t

Passo 3

Vamos calcular a divergência de E. Por definição
nablacdot E = partial Expartial x + partial Eypartial y + partial Ezpartial z
Aqui Ex=Ey=0 e Ez=cos(y-ct) não depende de z, então
nablacdot E = 0 + 0 + 0 = 0,
logo a primeira equação está satisfeita.

Passo 4

Agora a divergência de B:
nablacdot B = partial Bxpartial x + partial Bypartial y + partial Bzpartial z
Como Bx=cos(y-ct) não depende de x e By=Bz=0, temos
nablacdot B = 0 + 0 + 0 = 0,
então a segunda equação também vale.

Passo 5

Agora vamos ao rotacional de E. Em componentes:
(nablatimes E)x = partial Ezpartial y - partial Eypartial z,
(nablatimes E)y = partial Expartial z - partial Ezpartial x,
(nablatimes E)z = partial Eypartial x - partial Expartial y
Como Ex=Ey=0 e Ez=cos(y-ct), obtemos
(nablatimes E)x = -sin(y-ct), (nablatimes E)y = 0, (nablatimes E)z = 0
Para a derivada temporal de B temos
partial Bxpartial t = partialpartial tcos(y-ct) = -sin(y-ct),( -c ) = c,sin(y-ct),
e as outras componentes são zero. Logo
-1c,partial Bpartial t = -1c(csin(y-ct),0,0) = (-sin(y-ct),0,0) = nablatimes E

Passo 6

Por fim, calculamos o rotacional de B:
(nablatimes B)x = partial Bzpartial y - partial Bypartial z = 0,
(nablatimes B)y = partial Bxpartial z - partial Bzpartial x = 0,
(nablatimes B)z = partial Bypartial x - partial Bxpartial y = -l(-sin(y-ct)r) = sin(y-ct)
E para partial E/partial t:
partial Ezpartial t = -sin(y-ct),( -c ) = csin(y-ct),
então
1c,partial Epartial t = (0,0,sin(y-ct)) = nablatimes B

Resposta

O campo proposto satisfaz todas as equações de Maxwell em vácuo nas unidades gaussianas.

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