Mostre que o seguinte campo eletromagnético satisfaz as equações de Maxwell:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o campo eletromagnético dado por
E_x=E_y=0, E_z=\cos(y-ct)
B_x=\cos(y-ct), B_y=B_z=0
B_x=\cos(y-ct), B_y=B_z=0
satisfaz as equações de Maxwell em vácuo. O conteúdo envolve as operações de divergência e rotacional de campos vetoriais e as derivadas temporais das componentes de E e B, usando unidades gaussianas (onde aparece o fator 1/c nas equações de Maxwell).
Passo 2
Em unidades gaussianas, as equações de Maxwell em vácuo (sem cargas nem correntes) são:
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. Por definição
Aqui
e
não depende de
, então
logo a primeira equação está satisfeita.
Passo 4
Agora a divergência de
:
Como
não depende de
e
, temos
então a segunda equação também vale.
Passo 5
Agora vamos ao rotacional de
. Em componentes:
Como
e
, obtemos
Para a derivada temporal de
temos
e as outras componentes são zero. Logo
Passo 6
Por fim, calculamos o rotacional de
:
E para
:
então
Resposta
O campo proposto satisfaz todas as equações de Maxwell em vácuo nas unidades gaussianas.