Considere um lote contendo 20 peças de um determinado produto, sendo que 4 delas são defeituosas e 16 em perfeito estado. Três peças serão selecionadas ao acaso desse lote, e queremos estudar o comportamento da variável aleatória
Construa a função de probabilidade da variável
quando as peças são selecionadas:
(a) com reposição, isto é, após cada seleção, a peça é devolvida ao lote;
(b) sem reposição, isto é, uma vez retirada, a peça não retorna ao lote.
Adicionalmente, explique qual das distribuições você considera mais adequada para representar esse tipo de situação na prática e por quê.
(a) com reposição, isto é, após cada seleção, a peça é devolvida ao lote;
(b) sem reposição, isto é, uma vez retirada, a peça não retorna ao lote.
Passo 1
O enunciado apresenta um lote com
peças, sendo
defeituosas e
em perfeito estado. Selecionam-se
peças ao acaso e define-se a variável aleatória
como o número de peças defeituosas encontradas. Para resolver, vamos construir a função massa de probabilidade de
em dois cenários distintos:
- (a) com reposição
modelo binomial; - (b) sem reposição
modelo hipergeométrico.
Passo 2
No caso com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante:
e a de insucesso é
. Como são
retiradas independentes,
segue distribuição binomial de parâmetros
e
. Portanto, para
,
Passo 3
No caso sem reposição, as retiradas não são independentes e a probabilidade varia a cada extração. Então
segue distribuição hipergeométrica com população total
, número de defectivos
e tamanho da amostra
. Para
,
Passo 4
Na prática, ao inspecionar peças de um lote, normalmente não se devolve a peça testada antes de seguir à próxima extração. Por isso o modelo hipergeométrico (sem reposição) é mais adequado, pois leva em conta a mudança de probabilidades a cada retirada. O modelo binomial com reposição serve como boa aproximação quando o lote é muito grande ou as retiradas são poucas em relação ao total.
Resposta
(a)
(b)
Na prática, a distribuição hipergeométrica (amostragem sem reposição) é a mais adequada, pois reflete a variação das probabilidades em um lote finito.