Considere um lote contendo 20 peças de um determinado produto, sendo que 4 delas são defeituosas e 16 em perfeito estado. Três peças serão selecionadas ao acaso desse lote, e queremos estudar o comportamento da variável aleatória
X:=\text { Número de peças defeituosas encontradas. }úç
Construa a função de probabilidade da variável X quando as peças são selecionadas:
(a) com reposição, isto é, após cada seleção, a peça é devolvida ao lote;
(b) sem reposição, isto é, uma vez retirada, a peça não retorna ao lote.
Adicionalmente, explique qual das distribuições você considera mais adequada para representar esse tipo de situação na prática e por quê.

Passo 1

O enunciado apresenta um lote com 20 peças, sendo 4 defeituosas e 16 em perfeito estado. Selecionam-se 3 peças ao acaso e define-se a variável aleatória X como o número de peças defeituosas encontradas. Para resolver, vamos construir a função massa de probabilidade de X em dois cenários distintos:
  • (a) com reposição \to modelo binomial;
  • (b) sem reposição \to modelo hipergeométrico.

Passo 2

No caso com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante:
p = \frac{4}{20} = 0{,}2,
e a de insucesso é 1-p=0{,}8. Como são n=3 retiradas independentes, X segue distribuição binomial de parâmetros n=3 e p=0{,}2. Portanto, para k=0,1,2,3,
P(X=k) = \binom{3}{k}\,p^k\,(1-p)^{3-k} = \binom{3}{k}\,(0{,}2)^k\,(0{,}8)^{3-k}.

Passo 3

No caso sem reposição, as retiradas não são independentes e a probabilidade varia a cada extração. Então X segue distribuição hipergeométrica com população total N=20, número de defectivos 4 e tamanho da amostra n=3. Para k=0,1,2,3,
P(X=k) = \frac{\binom{4}{k}\,\binom{16}{3-k}}{\binom{20}{3}}.

Passo 4

Na prática, ao inspecionar peças de um lote, normalmente não se devolve a peça testada antes de seguir à próxima extração. Por isso o modelo hipergeométrico (sem reposição) é mais adequado, pois leva em conta a mudança de probabilidades a cada retirada. O modelo binomial com reposição serve como boa aproximação quando o lote é muito grande ou as retiradas são poucas em relação ao total.

Resposta

(a) \displaystyle P(X=k)=\binom{3}{k}\,(0{,}2)^k\,(0{,}8)^{3-k},\quad k=0,1,2,3.
(b) \displaystyle P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\,\binom{16}{3-k}}{\binom{20}{3}},\quad k=0,1,2,3.
Na prática, a distribuição hipergeométrica (amostragem sem reposição) é a mais adequada, pois reflete a variação das probabilidades em um lote finito.

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