Seja
um ponto escolhido uniformemente ao longo de um dos lados de um triângulo equilátero de lado
. Seja
a distância entre esse ponto e o vértice oposto ao lado em que
foi escolhido. Determine a função de distribuição de
.
Passo 1
O enunciado nos diz que escolhemos um ponto
de forma uniforme ao longo de um dos lados de um triângulo equilátero de lado
, e definimos
como a distância de
até o vértice oposto a esse lado. O conteúdo é variáveis aleatórias contínuas e distribuição de funções de distância em geometria. Para resolver, vamos usar a relação entre comprimento de segmento e probabilidade uniforme no lado do triângulo.
Passo 2
Precisamos primeiro achar o mínimo e o máximo de
. O valor mínimo ocorre quando
é o ponto médio do lado, pois aí a distância ao vértice é a altura do triângulo:
O valor máximo ocorre nos vértices do lado, dando distância
Logo o suporte de
é
. Assim já sabemos que
Passo 3
Agora, coloque o lado escolhido como o segmento de coordenadas
no eixo
. O vértice oposto estará em
. Um ponto
tem
Como
é uniforme em
, a densidade de
vale
. A condição
equivale a
O comprimento dos
que satisfazem isso é
Passo 4
A probabilidade
é então esse comprimento dividido por
:
válido para
.
Resposta
Para a função de distribuição
temos: