Seja P um ponto escolhido uniformemente ao longo de um dos lados de um triângulo equilátero de lado s. Seja X a distância entre esse ponto e o vértice oposto ao lado em que P foi escolhido. Determine a função de distribuição de X.

Passo 1

O enunciado nos diz que escolhemos um ponto P de forma uniforme ao longo de um dos lados de um triângulo equilátero de lado s, e definimos X como a distância de P até o vértice oposto a esse lado. O conteúdo é variáveis aleatórias contínuas e distribuição de funções de distância em geometria. Para resolver, vamos usar a relação entre comprimento de segmento e probabilidade uniforme no lado do triângulo.

Passo 2

Precisamos primeiro achar o mínimo e o máximo de X. O valor mínimo ocorre quando P é o ponto médio do lado, pois aí a distância ao vértice é a altura do triângulo:
h = \frac{\sqrt3}{2}\,s.
O valor máximo ocorre nos vértices do lado, dando distância
s.
Logo o suporte de X é \bigl[h,s\bigr]=\bigl[\tfrac{\sqrt3}{2}s,\;s\bigr]. Assim já sabemos que
F_X(x)=0\quad\text{para }x<\tfrac{\sqrt3}{2}s, \qquad F_X(x)=1\quad\text{para }x\ge s.

Passo 3

Agora, coloque o lado escolhido como o segmento de coordenadas t\in[-\tfrac{s}{2},\tfrac{s}{2}] no eixo x. O vértice oposto estará em (0,h). Um ponto P=(t,0) tem
X=\sqrt{t^2+h^2}.
Como P é uniforme em t, a densidade de t vale 1/s. A condição X\le x equivale a
\sqrt{t^2+h^2}\le x \quad\Longleftrightarrow\quad |t|\le \sqrt{x^2-h^2}.
O comprimento dos t que satisfazem isso é
2\,\sqrt{x^2-h^2}.

Passo 4

A probabilidade F_X(x)=P(X\le x) é então esse comprimento dividido por s:
F_X(x) =\frac{2\,\sqrt{x^2-h^2}}{s} =\frac{2}{s}\,\sqrt{x^2-\frac{3s^2}{4}},
válido para x\in\bigl[\tfrac{\sqrt3}{2}s,\;s\bigr].

Resposta

Para a função de distribuição F_X(x)=P(X\le x) temos:
F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<\tfrac{\sqrt{3}}{2}s,\\[6pt] \dfrac{2}{s}\,\sqrt{x^2-\tfrac{3s^2}{4}}\,, & \tfrac{\sqrt{3}}{2}s\le x\le s,\\[6pt] 1, & x> s. \end{cases}]

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