Considere em \mathbb{R} as métricas definidas por d_{1}(x, y)=|x-y| e d_{2}(x, y)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } x=y, \\\\ 1, \text { se } x \neq y,\end{array}\right. para quaisquer x, y \in \mathbb{R}. Apoiado nisso, mostre que d_{1} \mathrm{e} d_{2} não são equivalentes.
14. Considere ( M, d ) um espaço métrico, ( x_{n} ) uma sequência em M e p \in M. Mostre que, se
\lim x_{2 n}=p \text { e } \lim x_{2 n-1}=p,
então \lim x_{n}=p.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, mostrar que as métricas
d_{1}(x,y)=|x-y|
e
d_{2}(x,y)=\begin{cases}0,&\text{se }x=y,\\\ 1,&\text{se }x\neq y\end{cases}
em \mathbb{R} não são equivalentes; para isso usaremos o conceito de topologia induzida por cada métrica. Depois, em um espaço métrico (M,d), dada uma sequência (x_{n}) e um ponto p\in M, mostrar que se \lim x_{2n}=p e \lim x_{2n-1}=p então \lim x_{n}=p; para isso vamos usar a definição de convergência em espaço métrico.

Passo 2

Duas métricas são equivalentes se e somente se induzem a mesma coleção de conjuntos abertos. Em particular, basta encontrar um conjunto que seja aberto em uma métrica e não seja aberto na outra.

Passo 3

Na métrica d_{2} vemos que para qualquer x\in\mathbb{R} e para \varepsilon=\tfrac12 a bola aberta é
B_{d_{2}}\bigl(x,\tfrac12\bigr)=\{\,y\in\mathbb{R}\mid d_{2}(x,y)<\tfrac12\}=\{x\}.
Assim cada singleton \{x\} é aberto em d_{2}. Já em d_{1} qualquer bola B_{d_{1}}(x,\varepsilon)=\{y\mid|y-x|<\varepsilon\} contém infinitos pontos além de x, logo \{x\} não é aberto em d_{1}.

Passo 4

Como \{x\} é aberto em d_{2} e não é aberto em d_{1}, as duas métricas induzem topologias diferentes. Logo d_{1} e d_{2} não são equivalentes.

Passo 5

Em um espaço métrico (M,d), dizemos que x_{n}\to p se para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, vale
d(x_{n},p)<\varepsilon.

Passo 6

Pelas hipóteses, para dado \varepsilon>0 existem N_{1} e N_{2} tais que
  • se n\ge N_{1} e n é par então d(x_{n},p)<\varepsilon,
  • se n\ge N_{2} e n é ímpar então d(x_{n},p)<\varepsilon.

Passo 7

Tomando N=\max\{N_{1},N_{2}\}, para todo n\ge N teremos d(x_{n},p)<\varepsilon, quer n seja par ou ímpar. Assim \lim x_{n}=p.

Resposta

(a) As métricas d_{1} e d_{2} não são equivalentes.
(b) Se \lim x_{2n}=p e \lim x_{2n-1}=p em (M,d), então \lim x_{n}=p.

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