Considere (
) um espaço métrico e
. Nessas condições, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço métrico
e para quaisquer conjuntos
, vale
Aqui usamos a definição de interior: para um conjunto
,
onde
. Vamos provar duas inclusões.
Passo 2
Prova de
.
Seja . Então existe
tal que
Seja
Logo
e
. Pelos critérios de interior,
e
. Assim
Passo 3
Prova de
.
Seja . Então existem
com
e
com
.
Defina . Então
Seja
Defina
logo
. Pelo critério de interior segue
.