Considere ( M, d ) um espaço métrico e A, B \subset M. Nessas condições, mostre que
\operatorname{int}(A \cap B)=\operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B) .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço métrico (M,d) e para quaisquer conjuntos A,B\subset M, vale
\operatorname{int}(A\cap B)\;=\;\operatorname{int}(A)\;\cap\;\operatorname{int}(B).
Aqui usamos a definição de interior: para um conjunto S\subset M,
\operatorname{int}(S) =\{\,x\in M:\exists r>0\text{ tal que }B(x,r)\subset S\},
onde B(x,r)=\{y\in M:d(x,y)<r\}. Vamos provar duas inclusões.

Passo 2

Prova de \operatorname{int}(A\cap B)\subset\operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B).
Seja x\in\operatorname{int}(A\cap B). Então existe r>0 tal que
B(x,r)\subset A\cap B.
Logo B(x,r)\subset A e B(x,r)\subset B. Pelos critérios de interior, x\in\operatorname{int}(A) e x\in\operatorname{int}(B). Assim
x\in\operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B).

Passo 3

Prova de \operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B)\subset\operatorname{int}(A\cap B).
Seja x\in\operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B). Então existem r_1>0 com B(x,r_1)\subset A e r_2>0 com B(x,r_2)\subset B.
Defina r=\min\{r_1,r_2\}>0. Então
B(x,r)\subset B(x,r_1)\subset A \quad\text{e}\quad B(x,r)\subset B(x,r_2)\subset B,
logo B(x,r)\subset A\cap B. Pelo critério de interior segue x\in\operatorname{int}(A\cap B).

Resposta

\operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int}(A)\cap\operatorname{int}(B).

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