Considere \mathbb{R} com a métrica usual e A \subset \mathbb{R}. Nessa situação, determine \operatorname{int}(A), \bar{A}, \operatorname{int}(\bar{A}) e \overline{\operatorname{lnt}(A)}, em cada caso.
(b) A=\mathbb{Q} \cap(0,1]

Passo 1

O enunciado define
A = \mathbb{Q}\,\cap\,(0,1]
no espaço métrico \mathbb{R} com a métrica usual. Precisamos usar as definições de interior (maior aberto contido em A) e de fecho (menor fechado que contém A), além do fato de que \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}.

Passo 2

Para achar \operatorname{int}(A), note que qualquer intervalo aberto em \mathbb{R} contém números irracionais. Logo, não existe nenhum aberto não vazio contido em A. Portanto
\operatorname{int}(A)=\emptyset.

Passo 3

Para o fecho \overline{A}, observamos que \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, de modo que A é denso em (0,1]. Além disso, 0 também pertence ao fecho pois toda vizinhança de 0 intercepta A. Concluímos
\overline{A} = [0,1].

Passo 4

O interior de \overline{A}=[0,1] no sentido usual é
\operatorname{int}(\overline{A}) = (0,1).

Passo 5

Como \operatorname{int}(A)=\emptyset, o fecho desse conjunto é
\overline{\operatorname{int}(A)} = \overline{\emptyset} = \emptyset.

Resposta

\operatorname{int}(A)=\emptyset \overline{A}=[0,1] \operatorname{int}(\overline{A})=(0,1) \overline{\operatorname{int}(A)}=\emptyset

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