Considere (
) um espaço métrico. Com base nisso, mostre que também são métricas em
as funções definidas do seguinte modo:
;
Passo 1
O enunciado dá um espaço métrico
e define uma nova função
Queremos mostrar que
satisfaz as quatro propriedades de métrica:
- não–negatividade e identidade dos indiscerníveis,
- simetria,
- desigualdade triangular.
Passo 2
Não–negatividade e identidade dos indiscerníveis:
Para quaisquer
, como
, tem-se
.
Além disso, se, e somente se,
. Mas o mínimo é zero exatamente quando
, e como
é métrica isso ocorre só se
. Logo
Além disso,
Passo 3
Simetria:
Como
é simétrica,
. Daí
Passo 4
Desigualdade triangular:
Seja quaisquer
. Usamos primeiro a desigualdade triangular em
:
Então
Fica faltando ver que
Para isso, note que se
, então o lado esquerdo é
e o direito é pelo menos
. Se
, então o lado esquerdo é
e o direito é
, que vale no máximo
, logo
. Assim a desigualdade triangular vale para
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as propriedades de métrica, logo
é uma métrica em
.