Considere ( M, d ) um espaço métrico. Com base nisso, mostre que também são métricas em M as funções definidas do seguinte modo:
\alpha(x, y)=\min \{1, d(x, y)\};

Passo 1

O enunciado dá um espaço métrico (M,d) e define uma nova função
\alpha(x,y)=\min\{1,\;d(x,y)\}.
Queremos mostrar que \alpha satisfaz as quatro propriedades de métrica:
  1. não–negatividade e identidade dos indiscerníveis,
  2. simetria,
  3. desigualdade triangular.

Passo 2

Não–negatividade e identidade dos indiscerníveis:
Para quaisquer x,y\in M, como d(x,y)\ge0, tem-se \min\{1,d(x,y)\}\ge0.
Além disso, \alpha(x,y)=0 se, e somente se, \min\{1,d(x,y)\}=0. Mas o mínimo é zero exatamente quando d(x,y)=0, e como d é métrica isso ocorre só se x=y. Logo
\alpha(x,y)\ge0, \qquad \alpha(x,y)=0\iff x=y.

Passo 3

Simetria:
Como d é simétrica, d(x,y)=d(y,x). Daí
\alpha(x,y)=\min\{1,d(x,y)\} =\min\{1,d(y,x)\} =\alpha(y,x).

Passo 4

Desigualdade triangular:
Seja quaisquer x,y,z\in M. Usamos primeiro a desigualdade triangular em d:
d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).
Então
\alpha(x,z) =\min\{1,d(x,z)\} \le\min\{1,\;d(x,y)+d(y,z)\}.
Fica faltando ver que
\min\{1,\;d(x,y)+d(y,z)\} \le \min\{1,d(x,y)\} + \min\{1,d(y,z)\}.
Para isso, note que se d(x,y)+d(y,z)\le1, então o lado esquerdo é d(x,y)+d(y,z) e o direito é pelo menos d(x,y)+d(y,z). Se d(x,y)+d(y,z)>1, então o lado esquerdo é 1 e o direito é \min\{1,d(x,y)\}+\min\{1,d(y,z)\}, que vale no máximo 1+1=2, logo 1\le2. Assim a desigualdade triangular vale para \alpha.

Resposta

Concluímos que \alpha satisfaz todas as propriedades de métrica, logo
\alpha(x,y)=\min\{1,d(x,y)\}
é uma métrica em M.

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