Considere \sigma(t)=\left(\cos t, t^{2} \operatorname{sen} t, \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\right).
(a) Encontre o domínio de \sigma e determine onde essa função é contínua.
(b) Calcule \sigma^{\prime}(t).
(c) Calcule \lim _{t \rightarrow 0} \sigma^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\sigma(t)=\bigl(\cos t,\;t^{2}\sin t,\;\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\bigr)
e pede (a) o domínio de \sigma e onde ela é contínua, (b) sua derivada \sigma'(t) e (c) o limite de \sigma'(t) quando t\to0. Vamos usar análise de domínio de funções compostas, regras de derivação (produto e cadeia) e cálculo de limites.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos cada componente:
  1. \cos t e t^{2}\sin t são definidas para todo t\in\mathbb{R}.
  2. \displaystyle\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}} exige 1-t^{2}>0, pois não podemos dividir por zero nem extrair raiz de número negativo.
    Logo o domínio é
D = \{\,t\in\mathbb{R}\mid -1<t<1\} = (-1,1).
Dentro desse intervalo, cada componente é combinação de funções contínuas, logo \sigma é contínua em todo (-1,1).

Passo 3

Derivamos componente a componente:
  1. \displaystyle\frac{d}{dt}[\cos t] = -\sin t.
  2. Para \displaystyle t^{2}\sin t, aplicamos produto:
\frac{d}{dt}[t^{2}\sin t] =2t\sin t + t^{2}\cos t.
  1. Para \displaystyle \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}=t\,(1-t^{2})^{-\tfrac12}, usamos produto e regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl[t\,(1-t^{2})^{-\tfrac12}\bigr] =(1-t^{2})^{-\tfrac12} + t\bigl(-\tfrac12\bigr)(1-t^{2})^{-\tfrac32}(-2t) =\frac{1}{(1-t^{2})^{\tfrac32}}.
Assim
\sigma'(t) =\bigl(-\sin t,\;2t\sin t + t^{2}\cos t,\;\tfrac{1}{(1-t^{2})^{3/2}}\bigr).

Passo 4

Calculamos o limite componente a componente em t\to0:
-\sin t\to0,\quad 2t\sin t + t^{2}\cos t\to0,\quad \frac{1}{(1-t^{2})^{3/2}}\to1.
Portanto
\lim_{t\to0}\sigma'(t)=(0,0,1).

Resposta

(a) O domínio é (-1,1) e \sigma é contínua em todo esse intervalo.
(b)
\sigma'(t) =\bigl(-\sin t,\;2t\sin t + t^{2}\cos t,\;\tfrac{1}{(1-t^{2})^{3/2}}\bigr).
(c)
\lim_{t\to0}\sigma'(t)=(0,0,1).

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