Considere
.
(a) Encontre o domínio de
e determine onde essa função é contínua.
(b) Calcule
.
(c) Calcule
.
(a) Encontre o domínio de
(b) Calcule
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede (a) o domínio de
e onde ela é contínua, (b) sua derivada
e (c) o limite de
quando
. Vamos usar análise de domínio de funções compostas, regras de derivação (produto e cadeia) e cálculo de limites.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos cada componente:
-
e são definidas para todo . -
exige , pois não podemos dividir por zero nem extrair raiz de número negativo.
Logo o domínio é
Dentro desse intervalo, cada componente é combinação de funções contínuas, logo
é contínua em todo
.
Passo 3
Derivamos componente a componente:
-
- Para
, aplicamos produto:
- Para
, usamos produto e regra da cadeia:
Assim
Passo 4
Calculamos o limite componente a componente em
:
Portanto
Resposta
(a) O domínio é
e
é contínua em todo esse intervalo.
(b)
(b)
(c)