Mostre que \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}} \;=\; 1.
O conteúdo envolvido é limite de sequência positiva e uso de funções exponencial e logaritmo para tratar potências com expoentes que tendem a zero.

Passo 2

Defina
a_n = \sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}.
Como a_n>0, podemos escrever
a_n = \exp\bigl(\ln(a_n)\bigr).
Mas
\ln(a_n) = \ln\bigl(n^{1/n^2}\bigr) = \frac{1}{n^2}\,\ln n.
Logo
a_n = \exp\!\Bigl(\tfrac{\ln n}{n^2}\Bigr).

Passo 3

Estudamos primeiro o expoente:
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n^2} = 0,
pois \ln n cresce muito mais devagar que n^2. Pela continuidade da exponencial, temos
\lim_{n\to+\infty}a_n = \exp\bigl(0\bigr) = 1.

Resposta

1

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