Encontre uma fórmula para o termo geral x_{n} da sequência ( x_{n} ), admitindo-se que o padrão dos primeiros termos continua.
\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots\right)

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência \frac12,\;\frac23,\;\frac34,\;\frac45,\;\ldots
e pede a fórmula do termo geral x_n. Estamos lidando com progressões de termos racionais em que parece haver um padrão simples no numerador e no denominador.

Passo 2

Observando cada termo:
– No 1.º termo, x_1=\tfrac12, o numerador vale 1 e o denominador vale 2.
– No 2.º termo, x_2=\tfrac23, o numerador vale 2 e o denominador vale 3.
– No 3.º termo, x_3=\tfrac34, o numerador vale 3 e o denominador vale 4.
Em geral, no n-ésimo termo, o numerador é n e o denominador é n+1.

Passo 3

Logo, a expressão algébrica que descreve esse padrão é
x_n \;=\;\frac{n}{\,n+1\,}.
Para verificar, basta substituir valores de n:
– Se n=1, x_1=\tfrac{1}{1+1}=\tfrac12.
– Se n=2, x_2=\tfrac{2}{2+1}=\tfrac23.
– E assim por diante, conferindo com os termos dados.

Resposta

x_n = \frac{n}{\,n+1\,}.

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