Considere m como a variável independente da regressão linear, e as posições dos mínimos y_{\text {min }}(m). como a variável dependente. A relação é linear do tipo y_{\min }=A m+B, com o valor teórico de B, B=0. Escreva o valor teórico de A em função dos parâmetros conhecidos e da abertura a desconhecida.
Passo 1
Vou primeiro identificar claramente o que o enunciado pede e quais quantidades vou usar (assumindo o contexto clássico de difração por fenda única, que é o caso típico em que aparecem mínimos ordenados por m).
O enunciado dá:
A regressão linear experimental entre a ordem m (variável independente) e a posição dos mínimos y_{\min}(m) (variável dependente) tem a forma
y_{\min}(m)=A\,m+B,
com o valor teórico B=0.
A tarefa: escrever o valor teórico de A em função dos parâmetros conhecidos e da abertura (largura) a desconhecida.
As grandezas que vou usar e que normalmente são conhecidas no experimento:
\lambda: comprimento de onda da luz (conhecido);
D: distância da fenda até a tela onde se medem as posições y (conhecida);
a: largura da fenda (desconhecida — é o que queremos relacionar com A);
m: ordem do mínimo (m=\pm1,\pm2,\ldots);
y_{\min}(m): posição do mínimo de ordem m na tela, medida a partir do centro (y=0 para m=0).
Não começo a resolver ainda; apenas coloquei as informações e o que se pede.
Passo 2
Regra fundamental dos mínimos de difração por fenda única: os mínimos ocorrem para ângulos \theta que satisfazem
a\sin\theta = m\lambda,
onde m é um inteiro não nulo (m=\pm1,\pm2,\ldots).
Explicação rápida e prática: essa condição vem do fato de que, para essas direções, a contribuição de luz de diferentes partes da fenda interfere destrutivamente, anulando a intensidade.
Aqui, todas as letras significam:
a = largura da fenda;
\lambda = comprimento de onda;
\theta = ângulo medido a partir da direção central (normal à fenda) até a direção do mínimo.
Passo 3
Ligação entre ângulo \theta e posição y na tela: pela geometria do experimento,
y_{\min} = D\,\tan\theta,
onde D é a distância fenda–tela. Essa é exata (não é aproximação): \tan\theta = y/D.
Passo 4
Combino as duas relações para obter a expressão exata (sem aproximação) para a posição do mínimo de ordem m:
Observação importante sobre domínio: é preciso ter \big|\tfrac{m\lambda}{a}\big|\le 1 para que \arcsin seja real (caso contrário o mínimo de ordem m não existe fisicamente porque m\lambda>a).
Passo 5
Queremos a relação linear y_{\min}\approx A m + B com B=0. Para obter o coeficiente linear teórico A usamos a linearização em torno de m=0 (ou seja, assumimos ordens pequenas tais que \tfrac{m\lambda}{a}\ll 1). Há duas maneiras equivalentes de ver isso:
Método A — aproximação de pequeno ângulo: para ângulos pequenos vale \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta. Então, a condição dos mínimos dá \theta\approx \tfrac{m\lambda}{a} e, pela geometria,
Faço a derivada em relação a m e avalio em m=0 para obter a inclinação da curva no centro (que é a inclinação que a regressão linear deve estimar para pequenos m). Aplicando regra da cadeia:
Esse resultado coincide com o obtido pelo método A e confirma que a inclinação linear central é \dfrac{D\lambda}{a}.
Passo 6
Interpretação e condição de validade: a regressão linear y_{\min}=A m+B com B=0 tem coeficiente teórico
A=\frac{D\lambda}{a},
desde que as ordens usadas na regressão sejam pequenas o suficiente para que a aproximação linear (pequeno ângulo) seja válida, i.e., \big|\tfrac{m\lambda}{a}\big|\ll 1. Se usar ordens grandes, a relação exata é não linear e portanto o ajuste linear será apenas aproximado.