Considere m como a variável independente da regressão linear, e as posições dos mínimos y_{\text {min }}(m). como a variável dependente. A relação é linear do tipo y_{\min }=A m+B, com o valor teórico de B, B=0. Escreva o valor teórico de A em função dos parâmetros conhecidos e da abertura a desconhecida.

Passo 1

Vou primeiro identificar claramente o que o enunciado pede e quais quantidades vou usar (assumindo o contexto clássico de difração por fenda única, que é o caso típico em que aparecem mínimos ordenados por m).
O enunciado dá:
  • A regressão linear experimental entre a ordem m (variável independente) e a posição dos mínimos y_{\min}(m) (variável dependente) tem a forma
y_{\min}(m)=A\,m+B,
com o valor teórico B=0.
A tarefa: escrever o valor teórico de A em função dos parâmetros conhecidos e da abertura (largura) a desconhecida.
As grandezas que vou usar e que normalmente são conhecidas no experimento:
  • \lambda: comprimento de onda da luz (conhecido);
  • D: distância da fenda até a tela onde se medem as posições y (conhecida);
  • a: largura da fenda (desconhecida — é o que queremos relacionar com A);
  • m: ordem do mínimo ( m=\pm1,\pm2,\ldots);
  • y_{\min}(m): posição do mínimo de ordem m na tela, medida a partir do centro ( y=0 para m=0).
Não começo a resolver ainda; apenas coloquei as informações e o que se pede.

Passo 2

Regra fundamental dos mínimos de difração por fenda única: os mínimos ocorrem para ângulos \theta que satisfazem
a\sin\theta = m\lambda,
onde m é um inteiro não nulo ( m=\pm1,\pm2,\ldots).
Explicação rápida e prática: essa condição vem do fato de que, para essas direções, a contribuição de luz de diferentes partes da fenda interfere destrutivamente, anulando a intensidade.
Aqui, todas as letras significam:
  • a = largura da fenda;
  • \lambda = comprimento de onda;
  • \theta = ângulo medido a partir da direção central (normal à fenda) até a direção do mínimo.

Passo 3

Ligação entre ângulo \theta e posição y na tela: pela geometria do experimento,
y_{\min} = D\,\tan\theta,
onde D é a distância fenda–tela. Essa é exata (não é aproximação): \tan\theta = y/D.

Passo 4

Combino as duas relações para obter a expressão exata (sem aproximação) para a posição do mínimo de ordem m:
y_{\min}(m)=D\,\tan\!\big(\arcsin\!\big(\tfrac{m\lambda}{a}\big)\big).
Observação importante sobre domínio: é preciso ter \big|\tfrac{m\lambda}{a}\big|\le 1 para que \arcsin seja real (caso contrário o mínimo de ordem m não existe fisicamente porque m\lambda>a).

Passo 5

Queremos a relação linear y_{\min}\approx A m + B com B=0. Para obter o coeficiente linear teórico A usamos a linearização em torno de m=0 (ou seja, assumimos ordens pequenas tais que \tfrac{m\lambda}{a}\ll 1). Há duas maneiras equivalentes de ver isso:
Método A — aproximação de pequeno ângulo: para ângulos pequenos vale \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta. Então, a condição dos mínimos dá \theta\approx \tfrac{m\lambda}{a} e, pela geometria,
y_{\min}(m)\approx D\,\theta \approx D\,\frac{m\lambda}{a}.
Daí a dependência linear e o coeficiente é
A \approx \frac{D\lambda}{a}.
Método B — derivada no ponto m=0 (mais rigoroso): parto da expressão exata
y(m)=D\,\tan\!\big(\arcsin(u)\big),\qquad u:=\frac{m\lambda}{a}.
Faço a derivada em relação a m e avalio em m=0 para obter a inclinação da curva no centro (que é a inclinação que a regressão linear deve estimar para pequenos m). Aplicando regra da cadeia:
\frac{dy}{dm}=D\cdot\operatorname{sec}^2\theta\cdot\frac{d\theta}{dm},
onde \theta=\arcsin(u). Temos
\frac{d\theta}{dm}=\frac{d}{du}\arcsin(u)\cdot\frac{du}{dm}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{\lambda}{a}.
E \operatorname{sec}^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{1-\sin^2\theta}=\dfrac{1}{1-u^2}. Portanto
\frac{dy}{dm}=D\cdot\frac{1}{1-u^2}\cdot\frac{\lambda}{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}=D\frac{\lambda}{a}\frac{1}{(1-u^2)^{3/2}}.
Avaliando em m=0 (ou seja u=0) obtemos
\left.\frac{dy}{dm}\right|_{m=0}=D\frac{\lambda}{a}.
Esse resultado coincide com o obtido pelo método A e confirma que a inclinação linear central é \dfrac{D\lambda}{a}.

Passo 6

Interpretação e condição de validade: a regressão linear y_{\min}=A m+B com B=0 tem coeficiente teórico
A=\frac{D\lambda}{a},
desde que as ordens usadas na regressão sejam pequenas o suficiente para que a aproximação linear (pequeno ângulo) seja válida, i.e., \big|\tfrac{m\lambda}{a}\big|\ll 1. Se usar ordens grandes, a relação exata é não linear e portanto o ajuste linear será apenas aproximado.

Resposta

A=\frac{D\,\lambda}{a}

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