Escreva a equação da intensidade I(y) em função de y, e dos parâmetros \lambda, L, I_{0}, a, na aproximação de Fraunhofer (tela distante, ou seja pode aproximar o ângulo com o seno e a tangente).

Passo 1

O que o problema pede: escrever a equação da intensidade I(y) medida na tela em função da coordenada transversal y e dos parâmetros \lambda,\;L,\;I_{0},\;a, na aproximação de Fraunhofer (tela distante, \sin\theta\approx\tan\theta\approx y/L).
Informações/condições dadas (explicitadas):
  • Largura da fenda: a.
  • Distância fenda–tela: L (grande; regime de Fraunhofer).
  • Comprimento de onda da luz: \lambda.
  • Intensidade máxima no centro (em y=0): I_{0}.
  • Queremos I como função de y (posição na tela).

Passo 2

Modelo físico e estratégia (sem resolver ainda): considerar uma única fenda de largura a iluminada uniformemente. Na aproximação de Fraunhofer a amplitude na direção \theta (ângulo medido a partir do eixo central) é dada pela soma coerente (integral) das contribuições de cada ponto da fenda, levando em conta a diferença de fase devido à diferença de caminho. Depois obtemos a intensidade como o quadrado do módulo da amplitude. Finalmente trocamos \theta por y usando \sin\theta\approx y/L.

Passo 3

Montagem da integral para a amplitude de campo (passo a passo didático).
  • Escolho um eixo x ao longo da fenda, centrado em x=0, com x\in[-a/2,a/2].
  • Um elemento de comprimento dx em x contribui com uma onda cuja fase relativa é k x \sin\theta, onde k é o número de onda:
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
  • A amplitude total E(\theta) (proporcional ao campo complexo na direção \theta) é proporcional à integral das contribuições ao longo da fenda:
E(\theta) \propto \int_{-a/2}^{a/2} e^{i k x \sin\theta}\,dx.

Passo 4

Cálculo explícito da integral (não pulei etapas).
  • Avaliando a integral:
\int_{-a/2}^{a/2} e^{i k x \sin\theta}\,dx = \left[ \frac{e^{i k x \sin\theta}}{i k \sin\theta} \right]_{x=-a/2}^{x=+a/2} = \frac{e^{i k (a/2)\sin\theta}-e^{-i k (a/2)\sin\theta}}{i k \sin\theta}.
  • Usando a identidade e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}=2i\sin\alpha obtemos:
E(\theta) \propto \frac{2i\sin\!\bigl(\tfrac{k a \sin\theta}{2}\bigr)}{i k \sin\theta} = \frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{k a \sin\theta}{2}\bigr)}{k \sin\theta}.
  • Simplificando, escrevemos a amplitude em termos de uma função adimensional. Definimos
\beta \equiv \frac{k a \sin\theta}{2} = \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda},
então
E(\theta) \propto \frac{\sin\beta}{\beta}.

Passo 5

Intensidade e normalização (ligando E a I).
  • A intensidade é proporcional ao módulo ao quadrado da amplitude:
I(\theta) \propto \left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2.
  • Normalizamos escolhendo I_{0} como a intensidade central (em \theta=0, onde \beta\to0). Como \lim_{\beta\to0}(\sin\beta/\beta)=1, a forma normalizada fica
I(\theta)=I_{0}\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 \quad\text{com}\quad \beta=\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}.
  • Observação prática: esta é a fórmula clássica da difração de fenda única no regime de Fraunhofer.

Passo 6

Trocar o ângulo \theta pela coordenada y na tela usando a aproximação de tela distante.
  • Em Fraunhofer (pequenos ângulos) vale
\sin\theta\approx\tan\theta\approx \frac{y}{L}.
  • Substituindo em \beta obtemos
\beta=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta \approx \frac{\pi a}{\lambda}\cdot\frac{y}{L}=\frac{\pi a y}{\lambda L}.

Passo 7

Escrever a expressão final de I(y) e tratar o caso y=0.
  • Substituindo \beta na expressão de I(\theta) obtemos a intensidade em função de y:
I(y)=I_{0}\left(\frac{\sin\!\bigl(\dfrac{\pi a y}{\lambda L}\bigr)}{\dfrac{\pi a y}{\lambda L}}\right)^{2}.
  • Observação sobre y=0: o quociente tem limite unitário quando y\to0, logo I(0)=I_{0}.

Resposta

I(y)=I_{0}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{\pi a y}{\lambda L}\right)}{\dfrac{\pi a y}{\lambda L}}\right)^{2}

Exercícios relacionados