Escreva a equação da intensidade
em função de
, e dos parâmetros
, na aproximação de Fraunhofer (tela distante, ou seja pode aproximar o ângulo com o seno e a tangente).
Passo 1
O que o problema pede: escrever a equação da intensidade
medida na tela em função da coordenada transversal
e dos parâmetros
, na aproximação de Fraunhofer (tela distante,
).
Informações/condições dadas (explicitadas):
- Largura da fenda:
. - Distância fenda–tela:
(grande; regime de Fraunhofer). - Comprimento de onda da luz:
. - Intensidade máxima no centro (em
): . - Queremos
como função de (posição na tela).
Passo 2
Modelo físico e estratégia (sem resolver ainda): considerar uma única fenda de largura
iluminada uniformemente. Na aproximação de Fraunhofer a amplitude na direção
(ângulo medido a partir do eixo central) é dada pela soma coerente (integral) das contribuições de cada ponto da fenda, levando em conta a diferença de fase devido à diferença de caminho. Depois obtemos a intensidade como o quadrado do módulo da amplitude. Finalmente trocamos
por
usando
.
Passo 3
Montagem da integral para a amplitude de campo (passo a passo didático).
- Escolho um eixo
ao longo da fenda, centrado em , com . - Um elemento de comprimento
em contribui com uma onda cuja fase relativa é , onde é o número de onda:
- A amplitude total
(proporcional ao campo complexo na direção ) é proporcional à integral das contribuições ao longo da fenda:
Passo 4
Cálculo explícito da integral (não pulei etapas).
- Avaliando a integral:
- Usando a identidade
obtemos:
- Simplificando, escrevemos a amplitude em termos de uma função adimensional. Definimos
então
Passo 5
Intensidade e normalização (ligando
a
).
- A intensidade é proporcional ao módulo ao quadrado da amplitude:
- Normalizamos escolhendo
como a intensidade central (em , onde ). Como , a forma normalizada fica
- Observação prática: esta é a fórmula clássica da difração de fenda única no regime de Fraunhofer.
Passo 6
Trocar o ângulo
pela coordenada
na tela usando a aproximação de tela distante.
- Em Fraunhofer (pequenos ângulos) vale
- Substituindo em
obtemos
Passo 7
Escrever a expressão final de
e tratar o caso
.
- Substituindo
na expressão de obtemos a intensidade em função de :
- Observação sobre
: o quociente tem limite unitário quando , logo .