sendo \alpha e \beta constantes tais que \alpha \ll 1 e \beta \ll 1, de modo que a aproximação elástica é válida.
a) Encontre o tensor de deformação elástica \varepsilon, de componentes \varepsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial X_{i}}\right).
b) Considerando um cubo de volume unitário com vértice na origem do sistema de eixos, encontre os ângulos \theta_{1}, \theta_{2} e \theta_{3} entre as arestas e os eixos do sistema, após aplicada a deformação.
c) Determine o volume final do cubo.
Passo 1
O enunciado dá o mapa de deformação linear aproximado em termos das coordenadas de referência X_i e de deformação small–strain:
com \alpha\ll1 e \beta\ll1.
Conteúdo: tensor de deformação de pequenas deformações, ângulos entre vetores deformados e eixos, e variação de volume via \det F.
Passo 2
Para pequenas deformações definimos o gradiente de deslocamento \nabla u de componentes \partial u_i/\partial X_j.
Calculamos não–nulos:
A aresta ao longo de X_{3} só se estica em X_{3}, logo \theta_{3}=0.
Para \alpha,\beta\ll1 usamos \sqrt{(1+\alpha)^{2}+\beta^{2}}\approx1+\alpha e \theta_{1}\approx\operatorname{arccos}\bigl(1-\tfrac{\beta^{2}}{2(1+\alpha)^{2}}\bigr)\approx\beta, da mesma forma \theta_{2}\approx\beta.