Considere uma máquina decimal com precisão t=3 dígitos e arredondamento.
Arredonde os números abaixo e determine os erros absoluto e relativo:
(a) 3,14159

Passo 1

O enunciado dá uma máquina decimal com precisão t=3 dígitos e modo de arredondamento. Pede para, para o número
x = 3{,}14159,
fazer o arredondamento na máquina (ou seja obter a representação com t=3 dígitos) e calcular:
  • o erro absoluto |x - \tilde{x}|;
  • o erro relativo \dfrac{|x-\tilde{x}|}{|x|}.
    Aqui \tilde{x} denota o número x após o arredondamento na máquina.

Passo 2

Explicação do procedimento de arredondamento com t=3 dígitos (passo a passo, sem pular):
  • “Precisão t=3 dígitos” significa que a mantissa (os dígitos significativos) deve ficar com exatamente três algarismos significativos.
  • Para arredondar, escreve-se x em forma normalizada (aqui já está: 3{,}14159 está entre 1 e 10), e mantém-se os primeiros t=3 dígitos significativos, olhando o (t+1)-ésimo dígito para decidir se sobe ou não (regra usual do arredondamento):
    • se o (t+1)-ésimo dígito \ge 5 então incrementa-se o último dígito guardado;
    • se o (t+1)-ésimo dígito <5 então mantém-se os dígitos guardados (arredonda-se para baixo).
  • Aqui os dígitos significativos de x são 3,\;1,\;4,\;1,\;5,\;9. Os três primeiros são 3,1,4 e o quarto dígito (o que decide) é 1.

Passo 3

Aplicando a regra ao número x=3{,}14159:
  • Os três primeiros dígitos significativos são 3,1,4, portanto a mantissa truncada seria 3{,}14.
  • O quarto dígito é 1 (menor que 5), logo não se aumenta o último algarismo; portanto o arredondamento por aproximação (arredondamento para o mais próximo) dá
\tilde{x} = 3{,}14.

Passo 4

Cálculo do erro absoluto. Definição usada:
\text{erro absoluto} = |x-\tilde{x}|.
Substituindo os valores:
|3{,}14159 - 3{,}14| = 0{,}00159.

Passo 5

Cálculo do erro relativo. Definição usada:
\text{erro relativo} = \frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}.
Substituindo os valores:
\frac{0{,}00159}{3{,}14159} = \frac{159}{314159}\approx 0{,}0005060\ldots
Em notação científica isso é aproximadamente
5{,}06\times 10^{-4}.

Passo 6

Interpretação rápida (para a prova): com t=3 guardou-se apenas três algarismos significativos; a perda é pequena aqui (erro relativo da ordem de 10^{-4}). Na hora da prova faça exatamente os passos: identifique os t primeiros dígitos significativos, olhe o (t+1)-ésimo para arredondar, calcule a diferença para o erro absoluto e divida por |x| para o erro relativo. Força aí — tá indo bem!

Resposta

\tilde{x}=3{,}14
\text{erro absoluto}=0{,}00159
\text{erro relativo}\approx 5{,}06\times 10^{-4}

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