Na mesma máquina, efetue as operações abaixo com arredondamento a cada etapa. Compare com o valor exato e determine os erros absoluto e relativo.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que eu efetue a operação com arredondamento a cada etapa, compare com o valor exato e calcule os erros absoluto e relativo. Os dados fornecidos são os dois números:
Nenhuma outra informação sobre a máquina (número de dígitos significativos) foi dada no enunciado. Para poder prosseguir é necessário assumir um formato de máquina; vou adotar a suposição padrão e razoável para exercícios assim: aritmética em vírgula flutuante com
dígitos significativos e arredondamento para o vizinho mais próximo (arredondamento para mais se empata).
Passo 2
Explicando o que significa “3 dígitos significativos” e “arredondamento a cada etapa”: em cada número guardado pela máquina mantemos exatamente
dígitos significativos (isto é, três algarismos não nulos a partir do primeiro distinto de zero) e, quando for necessário cortar dígitos, aproximamos ao vizinho mais próximo (se o dígito seguinte for exatamente 5 e não houver mais dígitos depois, arredonda-se para tornar o último dígito par ou, para simplificar aqui, arredonda-se para cima — essa nuance não afetará nosso caso). Além disso, “arredondamento a cada etapa” significa que devemos:
- primeiro representar cada operando no formato da máquina (arredondar os operandos, se preciso);
- executar a multiplicação com esses operandos de máquina;
- arredondar o resultado final ao formato da máquina.
Passo 3
Arredondando os operandos para
dígitos significativos:
- O número
já tem três dígitos significativos ( , , ), portanto permanece
- O número
tem apenas dois dígitos significativos; para ter três dígitos significativos escrevemos como (o zero à direita conta como dígito significativo numa representação normalizada):
Passo 4
Calculando o produto usando esses operandos de máquina (sem mais arredondamentos intermediários que não existam, pois a multiplicação é uma operação única aqui):
Multiplicando exatamente por
,
Multiplicando exatamente
Agora arredondamos o resultado para
dígitos significativos. O número
tem mais de três dígitos significativos; para três dígitos significativos devemos manter
e olhar o quarto dígito (que é
), portanto arredondamos o último dígito para cima:
Passo 5
Calcular o valor exato (sem nenhum arredondamento): é útil confirmar com frações:
logo
Portanto o valor exato é
, que coincide com o valor obtido antes do arredondamento do produto.
Passo 6
Erro absoluto: diferença entre o valor da máquina e o valor exato:
Passo 7
Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor exato (medida adimensional):
Arredondando a uma precisão razoável, podemos escrever
(ou
se quiser em porcentagem).