Na mesma máquina, efetue as operações abaixo com arredondamento a cada etapa. Compare com o valor exato e determine os erros absoluto e relativo.
(c) 1,75 \times 2,5

Passo 1

O enunciado pede que eu efetue a operação com arredondamento a cada etapa, compare com o valor exato e calcule os erros absoluto e relativo. Os dados fornecidos são os dois números:
1,75\quad\text{e}\quad 2,5.
Nenhuma outra informação sobre a máquina (número de dígitos significativos) foi dada no enunciado. Para poder prosseguir é necessário assumir um formato de máquina; vou adotar a suposição padrão e razoável para exercícios assim: aritmética em vírgula flutuante com 3 dígitos significativos e arredondamento para o vizinho mais próximo (arredondamento para mais se empata).

Passo 2

Explicando o que significa “3 dígitos significativos” e “arredondamento a cada etapa”: em cada número guardado pela máquina mantemos exatamente 3 dígitos significativos (isto é, três algarismos não nulos a partir do primeiro distinto de zero) e, quando for necessário cortar dígitos, aproximamos ao vizinho mais próximo (se o dígito seguinte for exatamente 5 e não houver mais dígitos depois, arredonda-se para tornar o último dígito par ou, para simplificar aqui, arredonda-se para cima — essa nuance não afetará nosso caso). Além disso, “arredondamento a cada etapa” significa que devemos:
  1. primeiro representar cada operando no formato da máquina (arredondar os operandos, se preciso);
  2. executar a multiplicação com esses operandos de máquina;
  3. arredondar o resultado final ao formato da máquina.

Passo 3

Arredondando os operandos para 3 dígitos significativos:
  • O número 1,75 já tem três dígitos significativos ( 1, 7, 5), portanto permanece
1,75.
  • O número 2,5 tem apenas dois dígitos significativos; para ter três dígitos significativos escrevemos como 2,50 (o zero à direita conta como dígito significativo numa representação normalizada):
2,50.

Passo 4

Calculando o produto usando esses operandos de máquina (sem mais arredondamentos intermediários que não existam, pois a multiplicação é uma operação única aqui):
Multiplicando exatamente 1,75 por 2,50,
1,75\times 2,50 = 4,375.
Agora arredondamos o resultado para 3 dígitos significativos. O número 4,375 tem mais de três dígitos significativos; para três dígitos significativos devemos manter 4,37 e olhar o quarto dígito (que é 5), portanto arredondamos o último dígito para cima:
\text{resultado na máquina} = 4,38.á

Passo 5

Calcular o valor exato (sem nenhum arredondamento): é útil confirmar com frações:
1,75=\frac{7}{4},\qquad 2,5=\frac{5}{2},
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\frac{7}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{35}{8}=4,375.
Portanto o valor exato é 4,375, que coincide com o valor obtido antes do arredondamento do produto.

Passo 6

Erro absoluto: diferença entre o valor da máquina e o valor exato:
\text{erro absoluto}=\left|4,38-4,375\right|=0,005.

Passo 7

Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor exato (medida adimensional):
\text{erro relativo}=\frac{0,005}{4,375}=\frac{5}{4375}=\frac{1}{875}\approx 0,001142857\ldots
Arredondando a uma precisão razoável, podemos escrever \approx 0,001143 (ou 0,1143\% se quiser em porcentagem).

Resposta

\text{Resultado na máquina} = 4,38á
\text{Valor exato} = 4,375
\text{Erro absoluto} = 0,005
\text{Erro relativo} = \dfrac{1}{875}\approx 0,001142857

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