Considere que uma máquina recebe de um eixo uma potência igual a
. Se a máquina perde calor a uma taxa igual a
. Determine a energia final da máquina após 3 horas sabendo que a energia inicial contida na máquina seja 10 kW .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a energia final contida na máquina após 3 horas, sabendo que a energia inicial é
e que a máquina recebe e perde energia segundo as taxas:
Informações relevantes listadas:
- A potência recebida do eixo é
em watts. - A potência perdida como calor é
em watts. - Intervalo de tempo:
até horas. - Energia inicial indicada:
(obs.: essa unidade parece indicar energia em ou houve pequena imprecisão; para manter consistência de unidades ao integrar potência em função de medido em horas, vou interpretar a energia inicial como . Explico e justifico essa escolha no próximo passo.) - Pergunta: calcular a energia final após 3 horas.
Passo 2
Por que interpretei a energia inicial como
e tratei
em horas?
- Potência (
ou ) vezes tempo (horas) dá energia em (ou se multiplicarmos por segundos). O enunciado deu um tempo em horas (3 horas) e deu potências em função de . Para integrar de forma direta e obter energia em uma unidade prática, é comum converter potências para e integrar no intervalo em horas, resultando em energia em . - Assim, converto as potências de
para (dividindo por 1000) e trabalho com em horas. Dessa forma a adição da energia inicial (interpretada como ) é consistente com a energia obtida pela integração.
Passo 3
Definição básica usada (aula rápida e prática):
- Potência é a taxa de variação da energia: a energia interna da máquina
satisfaz
onde
é potência que entra (do eixo) e
é potência que sai (calor).
- Para achar a variação de energia no intervalo
integramos:
Explicando símbolos:
é energia (a ser calculada),
é o tempo (aqui em horas),
são potências (aqui convertidas para
para integrar em horas).
Passo 4
Converter as potências para
(dividir por
):
onde
está em horas. Agora a integral em horas dará energia em
.
Passo 5
Escrevo a variação de energia de
até
horas:
Vou integrar termo a termo. Lembrete de cálculo: para
,
Passo 6
Integrando o primeiro termo:
Passo 7
Integrando o segundo termo:
Calcule
. Então
Passo 8
Calculo da variação líquida de energia:
Passo 9
Somando com a energia inicial (interpretada como
):
Arredondando de forma prática:
.
Passo 10
Se você quiser a energia em joules:
. Portanto