Considere que uma máquina recebe de um eixo uma potência igual a \dot{W}=100 t^{3}[W]. Se a máquina perde calor a uma taxa igual a \dot{\mathrm{Q}}=50 \sqrt{t}[\mathrm{~W}]. Determine a energia final da máquina após 3 horas sabendo que a energia inicial contida na máquina seja 10 kW .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a energia final contida na máquina após 3 horas, sabendo que a energia inicial é 10\\ \text{kW} e que a máquina recebe e perde energia segundo as taxas:
\dot{W}(t)=100\,t^{3}\\ [\text{W}],\qquad \dot{Q}(t)=50\,t^{1/2}\\ [\text{W}].
Informações relevantes listadas:
  • A potência recebida do eixo é \dot{W}(t)=100\,t^{3} em watts.
  • A potência perdida como calor é \dot{Q}(t)=50\,t^{1/2} em watts.
  • Intervalo de tempo: 0 até 3 horas.
  • Energia inicial indicada: 10\\ \text{kW} (obs.: essa unidade parece indicar energia em \text{kW}\cdot\text{h} ou houve pequena imprecisão; para manter consistência de unidades ao integrar potência em função de t medido em horas, vou interpretar a energia inicial como 10\\ \text{kW}\cdot\text{h}. Explico e justifico essa escolha no próximo passo.)
  • Pergunta: calcular a energia final após 3 horas.

Passo 2

Por que interpretei a energia inicial como 10\\ \text{kW}\cdot\text{h} e tratei t em horas?
  • Potência ( \text{W} ou \text{kW}) vezes tempo (horas) dá energia em \text{kW}\cdot\text{h} (ou \text{J} se multiplicarmos por segundos). O enunciado deu um tempo em horas (3 horas) e deu potências em função de t. Para integrar de forma direta e obter energia em uma unidade prática, é comum converter potências para \text{kW} e integrar no intervalo em horas, resultando em energia em \text{kW}\cdot\text{h}.
  • Assim, converto as potências de \text{W} para \text{kW} (dividindo por 1000) e trabalho com t em horas. Dessa forma a adição da energia inicial (interpretada como 10\\ \text{kW}\cdot\text{h}) é consistente com a energia obtida pela integração.

Passo 3

Definição básica usada (aula rápida e prática):
  • Potência é a taxa de variação da energia: a energia interna da máquina E(t) satisfaz
\frac{dE}{dt}=\dot{W}(t)-\dot{Q}(t),
onde \dot{W}(t) é potência que entra (do eixo) e \dot{Q}(t) é potência que sai (calor).
  • Para achar a variação de energia no intervalo [0,T] integramos:
\Delta E=\int_{0}^{T}\bigl(\dot{W}(t)-\dot{Q}(t)\bigr)\,dt.
Explicando símbolos: E(t) é energia (a ser calculada), t é o tempo (aqui em horas), \dot{W},\dot{Q} são potências (aqui convertidas para \text{kW} para integrar em horas).

Passo 4

Converter as potências para \text{kW} (dividir por 1000):
\dot{W}(t)=100\,t^{3}\\ [\text{W}] = 0{,}1\,t^{3}\\ [\text{kW}],
\dot{Q}(t)=50\,t^{1/2}\\ [\text{W}] = 0{,}05\,t^{1/2}\\ [\text{kW}],
onde t está em horas. Agora a integral em horas dará energia em \text{kW}\cdot\text{h}.

Passo 5

Escrevo a variação de energia de t=0 até t=3 horas:
\Delta E=\int_{0}^{3}\bigl(0{,}1\,t^{3}-0{,}05\,t^{1/2}\bigr)\,dt.
Vou integrar termo a termo. Lembrete de cálculo: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}.

Passo 6

Integrando o primeiro termo:
\int_{0}^{3}0{,}1\,t^{3}\,dt = 0{,}1\cdot\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{3} = 0{,}1\cdot\frac{3^{4}}{4} = 0{,}1\cdot\frac{81}{4} = 0{,}025\cdot 81 = 2{,}025\\ \text{kW}\cdot\text{h}.

Passo 7

Integrando o segundo termo:
\int_{0}^{3}0{,}05\,t^{1/2}\,dt = 0{,}05\cdot\left[\frac{t^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{3} =0{,}05\cdot\frac{2}{3}\,3^{3/2}= \frac{0{,}1}{3}\,3^{3/2}.
Calcule 3^{3/2}=3\sqrt{3}=\sqrt{27}\approx 5{,}196152423. Então
\int_{0}^{3}0{,}05\,t^{1/2}\,dt \approx \frac{0{,}1}{3}\times 5{,}196152423 \approx 0{,}033333333\times 5{,}196152423 \approx 0{,}173205081\\ \text{kW}\cdot\text{h}.

Passo 8

Calculo da variação líquida de energia:
\Delta E = 2{,}025 - 0{,}173205081 \approx 1{,}851794919\\ \text{kW}\cdot\text{h}.

Passo 9

Somando com a energia inicial (interpretada como E(0)=10\\ \text{kW}\cdot\text{h}):
E(3\\ \text{h}) = E(0)+\Delta E = 10 + 1{,}851794919 \approx 11{,}851794919\\ \text{kW}\cdot\text{h}.
Arredondando de forma prática: E(3\\ \text{h})\approx 11{,}852\\ \text{kW}\cdot\text{h}.

Passo 10

Se você quiser a energia em joules: 1\\ \text{kW}\cdot\text{h}=3{,}6\times10^{6}\\ \text{J}. Portanto
E(3\\ \text{h})\approx 11{,}851794919\times 3{,}6\times10^{6}\\ \text{J}\approx 4{,}266\,646\,\times10^{7}\\ \text{J}\approx 4{,}2667\times10^{7}\\ \text{J}.

Resposta

\,E(3\\ \text{h})\approx 11{,}852\\ \text{kW}\cdot\text{h} (equivalente a \approx 4{,}2667\times10^{7}\\ \text{J}).

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