A densidade da água em uma superfície livre onde a pressão é de 101325 Pa é aproximadamente
.
(a) Considerando a água como incompressível, determine a densidade e a pressão da água a uma profundidade de 11 km .
(b) Considerando que o módulo de Bulk da água seja
. Determine a densidade e a pressão a uma profundidade de 11 km . Despreze o efeito da temperatura. A pressão encontrada é maior ou menor que a pressão encontrada no item (a)? Explique.
(a) Considerando a água como incompressível, determine a densidade e a pressão da água a uma profundidade de 11 km .
(b) Considerando que o módulo de Bulk da água seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em profundidade
(ou seja,
):
- (a) Considerando água incompressível: determinar a densidade e a pressão nessa profundidade.
- (b) Considerando compressibilidade via módulo Bulk
: determinar a densidade e a pressão nessa profundidade; desprezar efeitos de temperatura; comparar a pressão obtida aqui com a do item (a) e explicar.
Dados fornecidos e constantes que usarei:
Passo 2
Vamos ao item (a). Primeiro eu explico a fórmula que usamos para pressão em um fluido estático: a condição de equilíbrio hidrostático dá
onde
é a pressão,
é a profundidade vertical (tomando
positivo para baixo) e
é a densidade local do líquido. Se a água é incompressível, a densidade é constante e igual a
. Então integramos essa equação de
(superfície) até
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: pressão à profundidade , -
: pressão na superfície (dada), -
: densidade constante do fluido (dada), -
: aceleração da gravidade (constante), -
: profundidade.
Passo 3
Agora calculo numericamente o item (a). Primeiro a variação de pressão devido ao peso da coluna de água:
Somando a pressão de superfície:
A densidade permanece
porque assumimos incompressibilidade.
Passo 4
Agora o item (b): precisamos incluir a compressibilidade via módulo Bulk. Primeiro eu explico o conceito e a relação diferencial.
O módulo Bulk
é definido por
onde
é volume e
é pressão. Como a densidade
é inversamente proporcional ao volume por massa fixa (
), podemos transformar a relação em termos de
. Fazendo as contas (mostrar a ideia):
Isto significa que um aumento de pressão
provoca um aumento relativo de densidade
. Integrando essa relação entre superfície (
) e uma pressão
qualquer, obtemos a relação exata
Obs.: para pequenas variações pode-se aproximar por
, mas aqui usarei a solução exata quando integrar a equação hidrostática.
Passo 5
Com
dependente de
, a equação hidrostática torna-se uma equação para
:
É uma equação diferencial separável. Faço a separação e integro de
(onde
) até
(onde
):
Calculo a integral à esquerda explicitamente (mostro o passo):
Igualando ao lado direito
obtemos
Isolando
:
Uma forma conveniente para a densidade na profundidade segue diretamente da relação
. Usando a expressão para
acima:
Esta última forma é algebraicamente equivalente à solução exponencial e é mais direta para calcular
.
Passo 6
Agora calculo numericamente as quantidades do item (b). Primeiro defino
Calculo
:
Com isso a densidade na profundidade vale
Agora a pressão:
Já tenho
. Calculo
. Então
Somando
:
Passo 7
Comparação e explicação física:
- No item (a) obtivemos
com densidade . - No item (b) obtivemos
com densidade .
A pressão do item (b) é maior que a do item (a). A explicação física é que, quando a água é comprimida sob alta pressão, sua densidade aumenta com a profundidade; essa densidade maior faz o fluido exercer um peso maior sobre camadas mais profundas, aumentando ainda mais a pressão. Matematicamente, expandindo
em série para pequeno
obtemos
ou seja, o termo adicional
(positivo) faz a pressão real ser maior que
usado no caso incompressível. Portanto
.
Resposta
(a)
,
(b) ,
(b)