A densidade da água em uma superfície livre onde a pressão é de 101325 Pa é aproximadamente 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) Considerando a água como incompressível, determine a densidade e a pressão da água a uma profundidade de 11 km .
(b) Considerando que o módulo de Bulk da água seja 2,2 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Determine a densidade e a pressão a uma profundidade de 11 km . Despreze o efeito da temperatura. A pressão encontrada é maior ou menor que a pressão encontrada no item (a)? Explique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em profundidade 11\\ \mathrm{km} (ou seja, h=11{,}000\\ \mathrm{m}):
  • (a) Considerando água incompressível: determinar a densidade e a pressão nessa profundidade.
  • (b) Considerando compressibilidade via módulo Bulk K=2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}: determinar a densidade e a pressão nessa profundidade; desprezar efeitos de temperatura; comparar a pressão obtida aqui com a do item (a) e explicar.
Dados fornecidos e constantes que usarei:
\rho_{0}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\quad(\text{densidade à superfície}),\qquad p_{0}=101\,325\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{pressão à superfície}),àíãàí
h=11\,000\\ \mathrm{m},\qquad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad K=2{,}2\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Vamos ao item (a). Primeiro eu explico a fórmula que usamos para pressão em um fluido estático: a condição de equilíbrio hidrostático dá
\frac{dp}{dz}=\rho g,
onde p é a pressão, z é a profundidade vertical (tomando z positivo para baixo) e \rho é a densidade local do líquido. Se a água é incompressível, a densidade é constante e igual a \rho_{0}. Então integramos essa equação de z=0 (superfície) até z=h:
\int_{p_{0}}^{p} dp'=\int_{0}^{h}\rho_{0} g\,dz' \quad\Rightarrow\quad p=p_{0}+\rho_{0} g h.
Aqui cada símbolo significa:
  • p : pressão à profundidade h,
  • p_{0} : pressão na superfície (dada),
  • \rho_{0} : densidade constante do fluido (dada),
  • g : aceleração da gravidade (constante),
  • h : profundidade.

Passo 3

Agora calculo numericamente o item (a). Primeiro a variação de pressão devido ao peso da coluna de água:
\Delta p=\rho_{0} g h = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 11\,000 = 107\,910\,000\\ \mathrm{Pa}.
Somando a pressão de superfície:
p = p_{0} + \Delta p = 101\,325 + 107\,910\,000 = 108\,011\,325\\ \mathrm{Pa}.
A densidade permanece \rho=\rho_{0}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} porque assumimos incompressibilidade.

Passo 4

Agora o item (b): precisamos incluir a compressibilidade via módulo Bulk. Primeiro eu explico o conceito e a relação diferencial.
O módulo Bulk K é definido por
K = -V\frac{dP}{dV},
onde V é volume e P é pressão. Como a densidade \rho é inversamente proporcional ao volume por massa fixa ( \rho=m/V), podemos transformar a relação em termos de \rho. Fazendo as contas (mostrar a ideia):
\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dP}{K}.
Isto significa que um aumento de pressão dP provoca um aumento relativo de densidade d\rho/\rho = dP/K. Integrando essa relação entre superfície ( p_{0},\rho_{0}) e uma pressão p qualquer, obtemos a relação exata
\ln\!\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)=\frac{p-p_{0}}{K} \quad\Rightarrow\quad \rho=\rho_{0}\exp\!\left(\frac{p-p_{0}}{K}\right).
Obs.: para pequenas variações pode-se aproximar por \rho\approx\rho_{0}\left(1+\dfrac{p-p_{0}}{K}\right), mas aqui usarei a solução exata quando integrar a equação hidrostática.

Passo 5

Com \rho dependente de p, a equação hidrostática torna-se uma equação para p(z):
\frac{dp}{dz}=\rho(p)\,g=\rho_{0}\exp\!\left(\frac{p-p_{0}}{K}\right)g.
É uma equação diferencial separável. Faço a separação e integro de z=0 (onde p=p_{0}) até z=h (onde p=p):
\int_{p_{0}}^{p} \exp\!\left(-\frac{p'-p_{0}}{K}\right)\,dp'=\int_{0}^{h}\rho_{0}g\,dz'.
Calculo a integral à esquerda explicitamente (mostro o passo):
\int_{p_{0}}^{p} \exp\!\left(-\frac{p'-p_{0}}{K}\right)\,dp'= K\left[1-\exp\!\left(-\frac{p-p_{0}}{K}\right)\right].
Igualando ao lado direito \rho_{0} g h obtemos
K\left[1-\exp\!\left(-\frac{p-p_{0}}{K}\right)\right]=\rho_{0} g h.
Isolando p:
\exp\!\left(-\frac{p-p_{0}}{K}\right)=1-\frac{\rho_{0} g h}{K},
\frac{p-p_{0}}{K}=-\ln\!\left(1-\frac{\rho_{0} g h}{K}\right),
p=p_{0}-K\ln\!\left(1-\frac{\rho_{0} g h}{K}\right).
Uma forma conveniente para a densidade na profundidade segue diretamente da relação \rho=\rho_{0}\exp\!\left(\dfrac{p-p_{0}}{K}\right). Usando a expressão para p acima:
\rho=\frac{\rho_{0}}{1-\dfrac{\rho_{0} g h}{K}}.
Esta última forma é algebraicamente equivalente à solução exponencial e é mais direta para calcular \rho.

Passo 6

Agora calculo numericamente as quantidades do item (b). Primeiro defino
x=\frac{\rho_{0} g h}{K}=\frac{1000\cdot 9{,}81\cdot 11\,000}{2{,}2\times 10^{9}}.
Calculo x:
\rho_{0} g h = 1000\cdot 9{,}81\cdot 11\,000 = 107\,910\,000\\ \mathrm{Pa},
x=\frac{107\,910\,000}{2{,}200\,000\,000}=0{,}04905.
Com isso a densidade na profundidade vale
\rho=\frac{\rho_{0}}{1-x}=\frac{1000}{1-0{,}04905}=\frac{1000}{0{,}95095}\approx 1\,051{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora a pressão:
p=p_{0}-K\ln(1-x).
Já tenho x=0{,}04905. Calculo \ln(1-x)=\ln(0{,}95095)\approx -0{,}0502937. Então
-K\ln(1-x)=2{,}2\times10^{9}\times 0{,}0502937 \approx 110\,646\,217\\ \mathrm{Pa}.
Somando p_{0}:
p = 101\,325 + 110\,646\,217 = 110\,747\,542\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Comparação e explicação física:
  • No item (a) obtivemos p_{\text{(a)}}=108\,011\,325\\ \mathrm{Pa} com densidade 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • No item (b) obtivemos p_{\text{(b)}}=110\,747\,542\\ \mathrm{Pa} com densidade \approx 1\,051{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
A pressão do item (b) é maior que a do item (a). A explicação física é que, quando a água é comprimida sob alta pressão, sua densidade aumenta com a profundidade; essa densidade maior faz o fluido exercer um peso maior sobre camadas mais profundas, aumentando ainda mais a pressão. Matematicamente, expandindo -K\ln(1-x) em série para pequeno x obtemos
-K\ln(1-x)=K\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots\right)=\rho_{0} g h + \frac{(\rho_{0} g h)^{2}}{2K}+\cdots,
ou seja, o termo adicional \dfrac{(\rho_{0} g h)^{2}}{2K} (positivo) faz a pressão real ser maior que \rho_{0} g h usado no caso incompressível. Portanto p_{\text{(b)}}>p_{\text{(a)}}.

Resposta

(a) \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, p=108\,011\,325\\ \mathrm{Pa}.
(b) \rho\approx 1\,051{,}6\\ \mathrm{kg/m^{3}}, p\approx 110\,747\,542\\ \mathrm{Pa}.

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