Converta os seguintes valores fracionários, da base 10 para a base 2 :
0,2_{10};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede converter o número decimal 0,2_{10} (ou seja, 0{,}2 na base 10) para a base 2.
  • Informação dada: o número é a fracção decimal 0{,}2_{10}= \dfrac{1}{5}.
  • Objetivo concreto: encontrar a expansão binária (base 2) de 0{,}2_{10}.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, sem pular passos):
  • Para converter a parte fracionária 0{,}x da base 10 para base 2 usa-se o método de multiplicações sucessivas por 2.
  • Regra: seja f a parte fracionária. Multiplica-se f por 2. O dígito binário seguinte é a parte inteira de 2f (ou seja 0 ou 1). A nova parte fracionária é a parte decimal (ou seja 2f-\lfloor 2f\rfloor). Repetir esse processo gera os dígitos binários depois da vírgula.
  • Se em algum momento a parte fracionária voltar a um valor já visto, a sequência de bits entre as repetições é um período (repete indefinidamente). Isso ocorre porque há um número finito de possíveis partes fracionárias racionais com denominador fixo.

Passo 3

Aplicando o método a 0{,}2_{10}. Vou anotar em cada linha: multiplicação, parte inteira (bit produzido) e nova parte fracionária.
\begin{array}{l} \text{Inicio: } f_0 = 0{,}2.\\[4pt] 2\cdot f_0 = 2\cdot 0{,}2 = 0{,}4 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_1 = 0,\\ \\ f_1 = 0{,}4.\\[4pt] 2\cdot f_1 = 2\cdot 0{,}4 = 0{,}8 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_2 = 0,\\ \\ f_2 = 0{,}8.\\[4pt] 2\cdot f_2 = 2\cdot 0{,}8 = 1{,}6 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_3 = 1,\\ \\ f_3 = 0{,}6.\\[4pt] 2\cdot f_3 = 2\cdot 0{,}6 = 1{,}2 \quad\Rightarrow\quad \text{bit}_4 = 1,\\ \\ f_4 = 0{,}2. \end{array}]

Passo 4

Identificação do período:
  • Observação: f_4 = 0{,}2 é igual a f_0. Isso significa que o processo entrou num ciclo e os bits obtidos a partir desse ponto vão repetir.
  • Os bits obtidos na primeira passagem foram, na ordem, \,0,0,1,1\,. Como voltamos ao mesmo f, a sequência de bits se repete indefinidamente.
  • Portanto a expansão binária é periódica com bloco repetido 0011.

Passo 5

Escrevendo a expansão binária encontrada:
  • Assim,
0{,}2_{10} = 0.(0011)_2,
onde 0.(0011)_2 significa que o bloco 0011 se repete infinitamente: 0{,}001100110011\ldots_2.

Passo 6

Verificação algébrica (para ter certeza de que a repetição dá exatamente \tfrac{1}{5}):
  • Seja x = 0.(0011)_2. O bloco tem n=4 dígitos e seu valor inteiro em binário é v = 0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0 = 3.
  • Para uma expansão periódica em base 2 com bloco de comprimento n vale a fórmula
x = \frac{v}{2^n-1}.
  • Substituindo v=3 e n=4:
x = \frac{3}{2^4-1} = \frac{3}{16-1} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2_{10}.
  • A conta confirma que 0.(0011)_2 é exatamente 0{,}2_{10}.

Passo 7

Comentário prático para a prova (dica rápida e motivadora):
  • Quando um decimal racional tem denominador que não é potência de 2, sua expansão binária será periódica. Aqui 1/5 tem período porque 5 não é 2^k.
  • Na prova, execute as multiplicações por 2 até ver repetição; anote os bits e o período. Isso é rápido e confiável — respira, você consegue!

Resposta

0{,}2_{10}=0.(0011)_2

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