Converta os seguintes valores fracionários, da base 10 para a base 2 :
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede converter o número decimal
(ou seja, na base 10) para a base 2. - Informação dada: o número é a fracção decimal
. - Objetivo concreto: encontrar a expansão binária (base
) de .
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, sem pular passos):
- Para converter a parte fracionária
da base 10 para base 2 usa-se o método de multiplicações sucessivas por . - Regra: seja
a parte fracionária. Multiplica-se por . O dígito binário seguinte é a parte inteira de (ou seja ou ). A nova parte fracionária é a parte decimal (ou seja ). Repetir esse processo gera os dígitos binários depois da vírgula. - Se em algum momento a parte fracionária voltar a um valor já visto, a sequência de bits entre as repetições é um período (repete indefinidamente). Isso ocorre porque há um número finito de possíveis partes fracionárias racionais com denominador fixo.
Passo 3
Aplicando o método a
. Vou anotar em cada linha: multiplicação, parte inteira (bit produzido) e nova parte fracionária.
Passo 4
Identificação do período:
- Observação:
é igual a . Isso significa que o processo entrou num ciclo e os bits obtidos a partir desse ponto vão repetir. - Os bits obtidos na primeira passagem foram, na ordem,
. Como voltamos ao mesmo , a sequência de bits se repete indefinidamente. - Portanto a expansão binária é periódica com bloco repetido
.
Passo 5
Escrevendo a expansão binária encontrada:
- Assim,
onde
significa que o bloco
se repete infinitamente:
.
Passo 6
Verificação algébrica (para ter certeza de que a repetição dá exatamente
):
- Seja
. O bloco tem dígitos e seu valor inteiro em binário é . - Para uma expansão periódica em base
com bloco de comprimento vale a fórmula
- Substituindo
e :
- A conta confirma que
é exatamente .
Passo 7
Comentário prático para a prova (dica rápida e motivadora):
- Quando um decimal racional tem denominador que não é potência de
, sua expansão binária será periódica. Aqui tem período porque não é . - Na prova, execute as multiplicações por
até ver repetição; anote os bits e o período. Isso é rápido e confiável — respira, você consegue!