Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
543.21987 ;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Número dado: 543,21987.
  • Sistema de ponto flutuante: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5.
  • O que pedem: escrever a representação em ponto flutuante desse número no sistema indicado, tanto usando truncamento quanto usando arredondamento.

Passo 2

O que significa representar em ponto flutuante neste sistema — uma “aula rápida, sem medo”:
  • Um número (não nulo) é escrito na forma normalizada
\pm (d_0.d_1 d_2 \ldots d_{t-1})_{\beta}\times \beta^{e},
onde:
  • cada d_i é um dígito na base \beta (aqui 0,1,\dots,9);
  • o primeiro dígito d_0 é não nulo (ou seja 1\le d_0\le 9) — isso garante normalização;
  • existem exatamente t dígitos significativos no total: d_0,d_1,\dots,d_{t-1};
  • e é o expoente inteiro (aqui deve ficar no intervalo dado).
  • Truncamento: cortar (descartar) todos os dígitos após os primeiros t dígitos significativos (sem ajustar o último dígito).
  • Arredondamento (para o mais próximo, regra usual): olhar o primeiro dígito descartado; se ele for \ge 5 (na base 10) incrementa-se o último dígito mantido; se for <5, não se altera o último dígito. Se houver um “vai-um” que cause um estouro da mantissa (ex.: 9,999\ldots arredondando), pode ser necessário ajustar o expoente (ex.: passar de 9,999\times10^e para 1,000\times10^{e+1}).

Passo 3

Normalizar o número dado:
  • Escrever 543,21987 de forma com um dígito inteiro não nulo antes da vírgula:
543,21987 = 5,4321987 \times 10^{2}.
Aqui a mantissa normalizada é 5,4321987 (com infinitos dígitos da representação original) e o expoente é e=2. Note que e=2 está dentro do intervalo permitido -5\le e\le+5.

Passo 4

Aplicar o truncamento para t=4 dígitos significativos:
  • Mantendo apenas os primeiros t=4 dígitos da mantissa 5,4321987, obtemos a mantissa truncada 5,432.
  • Assim, a representação por truncamento é
5,432 \times 10^{2}.
  • Se quisermos ver o valor decimal correspondente:
5,432 \times 10^{2} = 543,2.

Passo 5

Aplicar o arredondamento para t=4 dígitos significativos:
  • Mantemos os primeiros 4 dígitos 5,4,3,2 e olhamos o quinto dígito (o primeiro descartado) na mantissa original 5,4321987. Esse quinto dígito é 1.
  • Regra: como 1<5, não incrementamos o último dígito mantido.
  • Portanto a mantissa arredondada também é 5,432 e a representação por arredondamento é
5,432 \times 10^{2}.
  • Valor decimal correspondente:
5,432 \times 10^{2} = 543,2.

Passo 6

Observações finais e checagens:
  • O expoente final e=2 está permitido ( -5\le 2\le+5), logo não há underflow/overflow.
  • Neste caso particular o truncamento e o arredondamento coincidem porque o primeiro dígito descartado é 1 (menor que 5).
  • Lembre-se, em outros números o arredondamento pode alterar o último dígito mantido e possivelmente aumentar o expoente se houver carry.

Resposta

Truncamento: 5,432 \times 10^{2} = 543,2
Arredondamento: 5,432 \times 10^{2} = 543,2

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