Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base
, mantissa com
dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo
. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
543.21987 ;
543.21987 ;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Número dado:
. - Sistema de ponto flutuante: base
, mantissa com dígitos significativos, expoente inteiro no intervalo . - O que pedem: escrever a representação em ponto flutuante desse número no sistema indicado, tanto usando truncamento quanto usando arredondamento.
Passo 2
O que significa representar em ponto flutuante neste sistema — uma “aula rápida, sem medo”:
- Um número (não nulo) é escrito na forma normalizada
onde:
- cada
é um dígito na base (aqui ); - o primeiro dígito
é não nulo (ou seja ) — isso garante normalização; - existem exatamente
dígitos significativos no total: ; -
é o expoente inteiro (aqui deve ficar no intervalo dado). - Truncamento: cortar (descartar) todos os dígitos após os primeiros
dígitos significativos (sem ajustar o último dígito). - Arredondamento (para o mais próximo, regra usual): olhar o primeiro dígito descartado; se ele for
(na base 10) incrementa-se o último dígito mantido; se for , não se altera o último dígito. Se houver um “vai-um” que cause um estouro da mantissa (ex.: arredondando), pode ser necessário ajustar o expoente (ex.: passar de para ).
Passo 3
Normalizar o número dado:
- Escrever
de forma com um dígito inteiro não nulo antes da vírgula:
Aqui a mantissa normalizada é
(com infinitos dígitos da representação original) e o expoente é
. Note que
está dentro do intervalo permitido
.
Passo 4
Aplicar o truncamento para
dígitos significativos:
- Mantendo apenas os primeiros
dígitos da mantissa , obtemos a mantissa truncada . - Assim, a representação por truncamento é
- Se quisermos ver o valor decimal correspondente:
Passo 5
Aplicar o arredondamento para
dígitos significativos:
- Mantemos os primeiros
dígitos e olhamos o quinto dígito (o primeiro descartado) na mantissa original . Esse quinto dígito é . - Regra: como
, não incrementamos o último dígito mantido. - Portanto a mantissa arredondada também é
e a representação por arredondamento é
- Valor decimal correspondente:
Passo 6
Observações finais e checagens:
- O expoente final
está permitido ( ), logo não há underflow/overflow. - Neste caso particular o truncamento e o arredondamento coincidem porque o primeiro dígito descartado é
(menor que ). - Lembre-se, em outros números o arredondamento pode alterar o último dígito mantido e possivelmente aumentar o expoente se houver carry.
Resposta
Truncamento:
Arredondamento: