Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: isolar os intervalos em que as raízes de f estão, construindo uma tabela com valores de x, f(x) e f'(x), e justificar por que cada intervalo contém exatamente uma raiz (sem usar método gráfico).
  • Dado: a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
  • O objetivo será, para cada intervalo escolhido, (i) mostrar existência de pelo menos uma raiz (usar o Teorema do Valor Intermediário, verificando mudança de sinal de f nas extremidades) e (ii) mostrar unicidade da raiz no intervalo (usar sinal de f' no intervalo / monotonicidade).

Passo 2

Derivada e ferramenta que vamos usar (mini-aula curta).
  • Calcular a derivada: derivada de x^{3} é 3x^{2}, de -6x^{2} é -12x, de 11x é 11. Logo
f'(x)=3x^{2}-12x+11.
  • Por que usar f'? Se f' não muda de sinal num intervalo aberto, então f é estritamente monótona nesse intervalo; sendo monótona, f pode ter no máximo uma raiz ali. Essa é a forma padrão de provar unicidade de raízes (monotonicidade).
  • Teorema do Valor Intermediário (IVT), lembrando: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Polinômios são contínuos, então podemos aplicar o IVT.
  • Para controlar onde f' muda de sinal, encontramos as raízes de f'. Resolver 3x^{2}-12x+11=0. Usando a fórmula quadrática:
x=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^{2}-4\cdot3\cdot11}}{2\cdot3} =\frac{12\pm\sqrt{144-132}}{6} =\frac{12\pm 2\sqrt{3}}{6} =2\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.
Valores numéricos aproximados:
2-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1{,}42265,\qquad 2+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx2{,}57735.
Portanto f' é positiva para x<1{,}42265, negativa para 1{,}42265<x<2{,}57735 e positiva para x>2{,}57735 (pois a concavidade da parábola 3x^2-12x+11 é para cima).

Passo 3

Tabela de valores escolhidos (vou escolher pontos que permitam intervalos pequenos onde f' tem sinal constante).
Vou usar a fatoração/avaliação direta de f por substituição (nota: polinômios são fáceis de avaliar) e a fórmula de f' para os derivados. Os valores foram calculados à mão e arredondados quando necessário.
  • Para x=0{,}2:
f(0{,}2)=(0{,}2-1)(0{,}2-2)(0{,}2-3)=-4{,}032, \qquad f'(0{,}2)=3(0{,}2)^{2}-12(0{,}2)+11=8{,}72.
  • Para x=1{,}3:
f(1{,}3)=(1{,}3-1)(1{,}3-2)(1{,}3-3)=0{,}357, \qquad f'(1{,}3)=3(1{,}3)^{2}-12(1{,}3)+11=0{,}47.
  • Para x=1{,}6:
f(1{,}6)=(1{,}6-1)(1{,}6-2)(1{,}6-3)=0{,}336, \qquad f'(1{,}6)=3(1{,}6)^{2}-12(1{,}6)+11=-0{,}52.
  • Para x=2{,}4:
f(2{,}4)=(2{,}4-1)(2{,}4-2)(2{,}4-3)=-0{,}336, \qquad f'(2{,}4)=3(2{,}4)^{2}-12(2{,}4)+11=-0{,}52.
  • Para x=2{,}6:
f(2{,}6)=(2{,}6-1)(2{,}6-2)(2{,}6-3)=-0{,}384, \qquad f'(2{,}6)=3(2{,}6)^{2}-12(2{,}6)+11=0{,}08.
  • Para x=3{,}4:
f(3{,}4)=(3{,}4-1)(3{,}4-2)(3{,}4-3)=1{,}344, \qquad f'(3{,}4)=3(3{,}4)^{2}-12(3{,}4)+11=4{,}88.
Observações sobre a tabela:
  • Os sinais de f nos pares (0{,}2,1{,}3), (1{,}6,2{,}4) e (2{,}6,3{,}4) são opostos, indicando possibilidade de raiz em cada intervalo.
  • Os valores de f' nas extremidades mostram que em [0{,}2,1{,}3] temos f'>0 (monótona crescente), em [1{,}6,2{,}4] temos f'<0 (monótona decrescente) e em [2{,}6,3{,}4] temos f'>0 (monótona crescente). Além disso, pelos valores calculados e pelos zeros de f' encontrados no passo anterior, sabemos que f' não zera dentro de cada um desses intervalos (os zeros de f' estão aproximadamente em 1{,}42265 e 2{,}57735, que ficam fora de [0{,}2,1{,}3], dentro de [1{,}6,2{,}4] e fora de [2{,}6,3{,}4] — atenção: verificar consistência com o que escolhemos; efetivamente 1{,}6 e 2{,}4 estão em (1{,}42265,2{,}57735) onde f'<0).)

Passo 4

Escolha dos intervalos e justificativa de existência e unicidade de uma raiz em cada um.
Vou adotar os três intervalos:
[0{,}2,\,1{,}3],\qquad [1{,}6,\,2{,}4],\qquad [2{,}6,\,3{,}4].
Justificativa para cada intervalo:
  1. Intervalo [0{,}2,\,1{,}3].
  • Existência: f(0{,}2)=-4{,}032<0 e f(1{,}3)=0{,}357>0. Como f é contínua (é polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe c_1\in(0{,}2,1{,}3) com f(c_1)=0.
  • Unicidade: em [0{,}2,1{,}3] temos f'(x)>0 para todo x do intervalo porque tanto 0{,}2 quanto 1{,}3 estão à esquerda da primeira raiz de f' (que é aproximadamente 1{,}42265), e f' é contínua. Como f' não muda de sinal no intervalo, f é estritamente crescente em [0{,}2,1{,}3] e então só pode haver uma única raiz em (0{,}2,1{,}3).
  1. Intervalo [1{,}6,\,2{,}4].
  • Existência: f(1{,}6)=0{,}336>0 e f(2{,}4)=-0{,}336<0. Pelo IVT existe c_2\in(1{,}6,2{,}4) tal que f(c_2)=0.
  • Unicidade: neste intervalo temos 1{,}6>1{,}42265 e 2{,}4<2{,}57735, portanto ambos os extremos estão no intervalo onde f'<0 (a região entre as raízes de f'). Assim f' é negativa em todo [1{,}6,2{,}4], então f é estritamente decrescente aí, implicando que só pode haver uma única raiz no intervalo.
  1. Intervalo [2{,}6,\,3{,}4].
  • Existência: f(2{,}6)=-0{,}384<0 e f(3{,}4)=1{,}344>0. Pelo IVT existe c_3\in(2{,}6,3{,}4) tal que f(c_3)=0.
  • Unicidade: como 2{,}6>2{,}57735, ambos os pontos do intervalo estão à direita da segunda raiz de f', onde f'>0. Logo f é estritamente crescente em [2{,}6,3{,}4] e há no máximo uma raiz; combinando com a existência, há exatamente uma raiz nesse intervalo.
Comentário encorajador: deu trabalho montar as checagens, mas o procedimento é padrão — IVT para existência + sinal de f' para unicidade.

Passo 5

Observação final curta (para fixar a ideia prática).
  • Em provas, esse é o esquema que se pede: (i) escolher intervalos onde f muda de sinal para garantir existência; (ii) checar f' ou monotonicidade nesses intervalos para garantir unicidade. Escolher pontos que fiquem entre as raízes de f' evita que f' mude de sinal dentro do intervalo.

Resposta

[0{,}2,\,1{,}3]
[1{,}6,\,2{,}4]
[2{,}6,\,3{,}4]

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