Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de
e
. Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede: isolar os intervalos em que as raízes de
estão, construindo uma tabela com valores de , e , e justificar por que cada intervalo contém exatamente uma raiz (sem usar método gráfico). - Dado: a função
- O objetivo será, para cada intervalo escolhido, (i) mostrar existência de pelo menos uma raiz (usar o Teorema do Valor Intermediário, verificando mudança de sinal de
nas extremidades) e (ii) mostrar unicidade da raiz no intervalo (usar sinal de no intervalo / monotonicidade).
Passo 2
Derivada e ferramenta que vamos usar (mini-aula curta).
- Calcular a derivada: derivada de
é , de é , de é . Logo
- Por que usar
? Se não muda de sinal num intervalo aberto, então é estritamente monótona nesse intervalo; sendo monótona, pode ter no máximo uma raiz ali. Essa é a forma padrão de provar unicidade de raízes (monotonicidade). - Teorema do Valor Intermediário (IVT), lembrando: se
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos, então existe pelo menos um tal que . Polinômios são contínuos, então podemos aplicar o IVT. - Para controlar onde
muda de sinal, encontramos as raízes de . Resolver . Usando a fórmula quadrática:
Valores numéricos aproximados:
Portanto
é positiva para
, negativa para
e positiva para
(pois a concavidade da parábola
é para cima).
Passo 3
Tabela de valores escolhidos (vou escolher pontos que permitam intervalos pequenos onde
tem sinal constante).
Vou usar a fatoração/avaliação direta de
por substituição (nota: polinômios são fáceis de avaliar) e a fórmula de
para os derivados. Os valores foram calculados à mão e arredondados quando necessário.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observações sobre a tabela:
- Os sinais de
nos pares , e são opostos, indicando possibilidade de raiz em cada intervalo. - Os valores de
nas extremidades mostram que em temos (monótona crescente), em temos (monótona decrescente) e em temos (monótona crescente). Além disso, pelos valores calculados e pelos zeros de encontrados no passo anterior, sabemos que não zera dentro de cada um desses intervalos (os zeros de estão aproximadamente em e , que ficam fora de , dentro de e fora de — atenção: verificar consistência com o que escolhemos; efetivamente e estão em onde ).)
Passo 4
Escolha dos intervalos e justificativa de existência e unicidade de uma raiz em cada um.
Vou adotar os três intervalos:
Justificativa para cada intervalo:
- Intervalo
.
- Existência:
e . Como é contínua (é polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe com . - Unicidade: em
temos para todo do intervalo porque tanto quanto estão à esquerda da primeira raiz de (que é aproximadamente ), e é contínua. Como não muda de sinal no intervalo, é estritamente crescente em e então só pode haver uma única raiz em .
- Intervalo
.
- Existência:
e . Pelo IVT existe tal que . - Unicidade: neste intervalo temos
e , portanto ambos os extremos estão no intervalo onde (a região entre as raízes de ). Assim é negativa em todo , então é estritamente decrescente aí, implicando que só pode haver uma única raiz no intervalo.
- Intervalo
.
- Existência:
e . Pelo IVT existe tal que . - Unicidade: como
, ambos os pontos do intervalo estão à direita da segunda raiz de , onde . Logo é estritamente crescente em e há no máximo uma raiz; combinando com a existência, há exatamente uma raiz nesse intervalo.
Comentário encorajador: deu trabalho montar as checagens, mas o procedimento é padrão — IVT para existência + sinal de
para unicidade.
Passo 5
Observação final curta (para fixar a ideia prática).
- Em provas, esse é o esquema que se pede: (i) escolher intervalos onde
muda de sinal para garantir existência; (ii) checar ou monotonicidade nesses intervalos para garantir unicidade. Escolher pontos que fiquem entre as raízes de evita que mude de sinal dentro do intervalo.