Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base
, mantissa com
dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo
. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
3.1415926 ;
3.1415926 ;
Passo 1
O enunciado pede: representar o número
no sistema de ponto flutuante com base
, mantissa com
dígitos significativos e expoente inteiro no intervalo
. É preciso dar a representação nos dois modos pedidos: truncamento e arredondamento. Dados relevantes:
-
. -
(ou seja, a mantissa terá exatamente 4 dígitos significativos). - intervalo do expoente:
. - número a representar:
.
Passo 2
Como funciona a normalização e o formato que vamos usar: em ponto flutuante normalizado (base 10) um número é escrito como
onde cada
é um dígito em
e o dígito mais significativo
deve ser não nulo (
). Aqui
significa que a mantissa terá quatro dígitos significativos:
. O expoente
deve ficar dentro de
. Se durante o arredondamento ocorrer um “vai um” que mude
de 9 para 10, há que ajustar a mantissa e o expoente (por exemplo passando de
para
), mas isso não acontecerá neste caso.
Passo 3
Definições operacionais que usarei:
- Truncamento: manter os primeiros
dígitos significativos e simplesmente eliminar os restantes (sem incrementar). - Arredondamento ao mais próximo (regra usual “>=5 sobe, <5 não sobe”): olhar para o
-ésimo dígito; se ele for aumenta-se em 1 o -ésimo dígito (com propagação de transporte, se necessário), caso contrário mantém-se os dígitos.
Passo 4
Colocar o número na forma normalizada (já está normalizado):
. Os dígitos significativos, em sequência, são
. Os quatro primeiros dígitos (
) são
, isto é a mantissa inicial
. O quinto dígito (que decide o arredondamento) é
.
Aplicando truncamento: simplesmente manter os quatro dígitos
. Portanto, a representação por truncamento é
Passo 5
Aplicando arredondamento ao mais próximo: o quinto dígito é
, portanto pela regra “>=5” devemos aumentar o quarto dígito em 1. O quarto dígito atualmente é
, então ao aumentar fica
. Assim a mantissa arredondada com quatro dígitos é
. O expoente permanece
(nenhum carry que altere ordem de grandeza ocorre). Portanto a representação por arredondamento é
Passo 6
Para fixar a intuição: os valores representados no sistema são, no caso do truncamento,
exatamente, e no caso do arredondamento,
exatamente. Ambos estão dentro do intervalo de expoente permitido (
está em
), então são representações válidas sem underflow/overflow.
Resposta
Truncamento:
Arredondamento:
Arredondamento: