Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
3.1415926 ;

Passo 1

O enunciado pede: representar o número 3{,}1415926 no sistema de ponto flutuante com base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos e expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5. É preciso dar a representação nos dois modos pedidos: truncamento e arredondamento. Dados relevantes:
  • \beta=10.
  • t=4 (ou seja, a mantissa terá exatamente 4 dígitos significativos).
  • intervalo do expoente: -5 \le e \le 5.
  • número a representar: 3{,}1415926.

Passo 2

Como funciona a normalização e o formato que vamos usar: em ponto flutuante normalizado (base 10) um número é escrito como
\pm d_0.d_1 d_2 \dots d_{t-1} \times 10^{e},
onde cada d_i é um dígito em \{0,\dots,9\} e o dígito mais significativo d_0 deve ser não nulo ( 1 \le d_0 \le 9). Aqui t=4 significa que a mantissa terá quatro dígitos significativos: d_0,d_1,d_2,d_3. O expoente e deve ficar dentro de [-5,5]. Se durante o arredondamento ocorrer um “vai um” que mude d_0 de 9 para 10, há que ajustar a mantissa e o expoente (por exemplo passando de 9{,}999\times10^0 para 1{,}000\times10^1), mas isso não acontecerá neste caso.

Passo 3

Definições operacionais que usarei:
  • Truncamento: manter os primeiros t dígitos significativos e simplesmente eliminar os restantes (sem incrementar).
  • Arredondamento ao mais próximo (regra usual “>=5 sobe, <5 não sobe”): olhar para o (t+1)-ésimo dígito; se ele for \ge 5 aumenta-se em 1 o t-ésimo dígito (com propagação de transporte, se necessário), caso contrário mantém-se os t dígitos.

Passo 4

Colocar o número na forma normalizada (já está normalizado): 3{,}1415926 = 3{,}1415926 \times 10^{0}. Os dígitos significativos, em sequência, são 3,1,4,1,5,9,2,6,\dots. Os quatro primeiros dígitos ( t=4) são 3,1,4,1, isto é a mantissa inicial 3{,}141. O quinto dígito (que decide o arredondamento) é 5.
Aplicando truncamento: simplesmente manter os quatro dígitos 3,1,4,1. Portanto, a representação por truncamento é
3{,}141 \times 10^{0}.

Passo 5

Aplicando arredondamento ao mais próximo: o quinto dígito é 5, portanto pela regra “>=5” devemos aumentar o quarto dígito em 1. O quarto dígito atualmente é 1, então ao aumentar fica 2. Assim a mantissa arredondada com quatro dígitos é 3{,}142. O expoente permanece 0 (nenhum carry que altere ordem de grandeza ocorre). Portanto a representação por arredondamento é
3{,}142 \times 10^{0}.

Passo 6

Para fixar a intuição: os valores representados no sistema são, no caso do truncamento, 3{,}141 exatamente, e no caso do arredondamento, 3{,}142 exatamente. Ambos estão dentro do intervalo de expoente permitido ( e=0 está em [-5,5]), então são representações válidas sem underflow/overflow.

Resposta

Truncamento: 3{,}141 \times 10^{0}
Arredondamento: 3{,}142 \times 10^{0}

Exercícios relacionados