Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
0.99999;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do sistema de ponto flutuante:
    • base \beta = 10,
    • mantissa com t = 4 dígitos significativos,
    • expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5.
  • Número a representar: \,0,99999.
  • O enunciado pede: a representação em ponto flutuante de \,0,99999 neste sistema, para os dois modos:
    • truncamento (cortar dígitos extras),
    • arredondamento (ao mais próximo, com regra usual de arredondar para cima quando o dígito seguinte \ge 5).

Passo 2

Explicar como é o formato normalizado que vamos usar (isso é importante para saber o que é permitido como mantissa/expoente).
  • Um número normalizado em base \beta com t dígitos tem a forma
\pm d_1.d_2d_3\ldots d_t \times \beta^{e},
onde d_1 é um dígito não nulo ( 1 \le d_1 \le \beta-1) e cada d_i é um dígito na base \beta. Aqui a mantissa tem exatamente t dígitos significativos: o dígito d_1 mais os t-1 dígitos seguintes.
  • Se, ao aproximar, o arredondamento produz um valor com mantissa igual a \beta (por exemplo 10,000 em base \beta=10), deve-se renormalizar: transformar 10,000\times10^{e} em 1,0000\times10^{e+1}.
  • O expoente resultante deve ficar dentro do intervalo permitido; se ficar fora, haveria underflow/overflow (não é o caso aqui, como veremos).

Passo 3

Passo inicial concreto: escrever \,0,99999 em notação normalizada (científica) na base \beta=10.
  • Multiplicando por 10 para obter o primeiro dígito não nulo:
0,99999 = 9,9999 \times 10^{-1}.
  • Observe os dígitos significativos completos do número: escritos em ordem são 9,9,9,9,9. Ao normalizar obtemos a mantissa 9,9999, que tem 5 dígitos significativos. Mas nosso sistema aceita apenas t=4 dígitos. Portanto precisamos aproximar/recortar a mantissa 9,9999 para ficar com 4 dígitos significativos.

Passo 4

Truncamento (cortar os dígitos extras sem arredondar).
  • Regra do truncamento: manter os primeiros t dígitos significativos e eliminar os restantes.
  • Aqui, os primeiros 4 dígitos significativos são 9,9,9,9, o que corresponde à mantissa 9,999.
  • Assim a representação por truncamento é
9,999 \times 10^{-1}.
  • Convertendo para forma decimal conveniente:
9,999 \times 10^{-1} = 0,9999.
  • Verificação do expoente: e=-1 está dentro de [-5,5], portanto válido.

Passo 5

Arredondamento (ao mais próximo) — tratar o dígito que foi descartado e o possível carry.
  • Regra do arredondamento ao mais próximo: olhar o primeiro dígito descartado; se ele for \ge 5 incrementar a última casa mantida, com propagação de carry se necessário.
  • Aqui, a sequência completa é 9,9,9,9,9. Mantemos os primeiros 4 dígitos 9,9,9,9 (mantissa provisória 9,999); o dígito seguinte (o quinto) é 9, que é \ge 5. Logo devemos arredondar para cima.
  • Incrementar a última casa de 9,999 equivale a fazer
9,999 + 0,0001 = 10,000.
  • Isso produz uma mantissa \,10,000 que não está normalizada (o dígito inicial deve ser entre 1 e 9). Fazemos a renormalização deslocando o ponto e aumentando o expoente em 1:
10,000 \times 10^{-1} = 1,0000 \times 10^{0}.
  • Portanto a representação por arredondamento é
1,0000 \times 10^{0}.
  • Em decimal isso é simplesmente 1,0000 (ou 1).
  • Verificação do expoente: e=0 está dentro de [-5,5], portanto válido.

Passo 6

Resumo numérico e observações finais (breve checagem intuitiva).
  • Pelo truncamento obtemos 0,9999, que é um pouco menor que o valor exato 0,99999.
  • Pelo arredondamento obtivemos 1,0000, que é maior que 0,99999 — isso acontece porque todos os dígitos eram 9 e o arredondamento provoca carry que eleva o número para o próximo valor representável, no caso 1.
  • Ambos os resultados cabem no intervalo de expoentes permitido, então são representações válidas no sistema pedido.

Resposta

Truncamento: 9,999\times10^{-1} = 0,9999
Arredondamento: 1,0000\times10^{0} = 1,0000

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