Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base
, mantissa com
dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo
. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
120000;
120000;
Passo 1
O enunciado pede para representar o número
no formato de ponto flutuante do sistema com:
- base
; -
dígitos significativos na mantissa; - expoente inteiro no intervalo
.
O que é pedido explicitamente:
- a representação usando truncamento (cortar depois dos
dígitos); - a representação usando arredondamento para
dígitos.
Vou listar as informações relevantes que usarei:
- o número a representar:
; - formato normalizado exigido: a mantissa deve ter a forma
com (ou seja, um algarismo não nulo antes da vírgula) e exatamente dígitos significativos; - expoente inteiro
tal que o valor seja ; - procedimentos: truncamento (cortar sem alterar o último dígito guardado) e arredondamento (ajustar o último dígito guardado conforme o próximo dígito).
Passo 2
Normalizar o número: transformar
na forma
com
.
Para isso, escrevemos
como potência de
vezes um número entre
e
:
Explicação: mover a vírgula decimal cinco casas à esquerda transforma
em
, então
. A forma exata e normalizada (com dígitos adicionais se desejarmos) é
isto é,
seguido de zeros infinitos nos dígitos seguintes.
Passo 3
Entender a restrição de
dígitos significativos.
Significa que a mantissa só pode guardar os primeiros quatro algarismos significativos:
.
No caso do número normalizado exato temos, escrevendo os dígitos:
No caso do número normalizado exato temos, escrevendo os dígitos:
Os quatro primeiros dígitos significativos são
. O quinto dígito (o primeiro que seria descartado ao truncar) é
.
Passo 4
Aplicar o truncamento (cortar depois dos
dígitos, sem arredondar).
Regra do truncamento: manter apenas
e desprezar os restantes.
Aqui os quatro dígitos são . Ao truncar, a mantissa fica
(com exatamente quatro dígitos significativos) e o expoente permanece
.
Observação: como os dígitos descartados são zeros, o valor truncado é exatamente igual ao valor original.
Aqui os quatro dígitos são
Observação: como os dígitos descartados são zeros, o valor truncado é exatamente igual ao valor original.
Passo 5
Aplicar o arredondamento para
dígitos significativos.
Regra do arredondamento (arredondar para o mais próximo): olhar o dígito imediatamente após os
dígitos guardados (o quinto dígito). Se esse dígito for menor que
, mantém-se a mantissa; se for maior que
(ou igual a
seguindo regra escolhida), incrementa-se o último dígito guardado conforme a regra adotada.
No nosso caso o quinto dígito é . Logo não aumenta nada e a mantissa arredondada também é
com
.
No nosso caso o quinto dígito é
Passo 6
Verificar o expoente contra os limites da máquina.
O expoente encontrado é
. O intervalo permitido é
. Como
está dentro do intervalo permitido, não há underflow nem overflow: a representação é válida tanto para truncamento quanto para arredondamento.
Resposta
Truncamento:
Arredondamento: