Considere uma máquina que representa números no formato de ponto flutuante, com as seguintes características: base \beta=10, mantissa com t=4 dígitos significativos, e expoente com valores inteiros no intervalo -5 \leq e \leq+5. Escreva a representação em ponto flutuante de cada um dos itens abaixo, no referido sistema, tanto para o truncamento quanto para o arredondamento.
120000;

Passo 1

O enunciado pede para representar o número 120000 no formato de ponto flutuante do sistema com:
  • base \beta=10;
  • t=4 dígitos significativos na mantissa;
  • expoente inteiro no intervalo -5 \le e \le +5.
O que é pedido explicitamente:
  • a representação usando truncamento (cortar depois dos t dígitos);
  • a representação usando arredondamento para t dígitos.
Vou listar as informações relevantes que usarei:
  • o número a representar: 120000;
  • formato normalizado exigido: a mantissa deve ter a forma d_1.d_2d_3d_4 com d_1\neq0 (ou seja, um algarismo não nulo antes da vírgula) e exatamente t=4 dígitos significativos;
  • expoente inteiro e tal que o valor seja \text{mantissa}\times10^{e};
  • procedimentos: truncamento (cortar sem alterar o último dígito guardado) e arredondamento (ajustar o último dígito guardado conforme o próximo dígito).

Passo 2

Normalizar o número: transformar 120000 na forma \pm d_1.d_2d_3d_4\ldots\times10^{e} com d_1\neq0.
Para isso, escrevemos 120000 como potência de 10 vezes um número entre 1 e 10:
120000 = 1{,}2\times10^{5}.
Explicação: mover a vírgula decimal cinco casas à esquerda transforma 120000 em 1{,}2, então e=5. A forma exata e normalizada (com dígitos adicionais se desejarmos) é
1{,}20000\ldots\times10^{5},
isto é, 1{,}2 seguido de zeros infinitos nos dígitos seguintes.

Passo 3

Entender a restrição de t=4 dígitos significativos.
Significa que a mantissa só pode guardar os primeiros quatro algarismos significativos: d_1,d_2,d_3,d_4.
No caso do número normalizado exato temos, escrevendo os dígitos:
1{,}20000\ldots = 1{,}2\;0\;0\;0\ldots
Os quatro primeiros dígitos significativos são 1,2,0,0. O quinto dígito (o primeiro que seria descartado ao truncar) é 0.

Passo 4

Aplicar o truncamento (cortar depois dos t dígitos, sem arredondar).
Regra do truncamento: manter apenas d_1,d_2,d_3,d_4 e desprezar os restantes.
Aqui os quatro dígitos são 1,2,0,0. Ao truncar, a mantissa fica 1{,}200 (com exatamente quatro dígitos significativos) e o expoente permanece e=5.
Observação: como os dígitos descartados são zeros, o valor truncado é exatamente igual ao valor original.

Passo 5

Aplicar o arredondamento para t=4 dígitos significativos.
Regra do arredondamento (arredondar para o mais próximo): olhar o dígito imediatamente após os t dígitos guardados (o quinto dígito). Se esse dígito for menor que 5, mantém-se a mantissa; se for maior que 5 (ou igual a 5 seguindo regra escolhida), incrementa-se o último dígito guardado conforme a regra adotada.
No nosso caso o quinto dígito é 0. Logo não aumenta nada e a mantissa arredondada também é 1{,}200 com e=5.

Passo 6

Verificar o expoente contra os limites da máquina.
O expoente encontrado é e=5. O intervalo permitido é -5\le e\le +5. Como 5 está dentro do intervalo permitido, não há underflow nem overflow: a representação é válida tanto para truncamento quanto para arredondamento.

Resposta

Truncamento: 1{,}200\times10^{5}
Arredondamento: 1{,}200\times10^{5}

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