Considere uma máquina térmica que opera utilizando um reservatório a 800^{\circ} \mathrm{C} e outro a 0^{\circ} \mathrm{C}. (a) Calcule a eficiência máxima possível. (b) Se q_{\text {in }} é 1000 J , calcule o valor máximo de -w e o valor mínimo de q_{\text {out }}.

Passo 1

Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda):
  • Dois reservatórios com temperaturas dadas em graus Celsius: 800^\circ\mathrm{C} (quente) e 0^\circ\mathrm{C} (frio).
  • Parte (a): pedir a eficiência máxima possível da máquina térmica.
  • Parte (b): dado que q_{\text{in}}=1000\\ \mathrm{J}, pedir o valor máximo de -w e o valor mínimo de q_{\text{out}}.

Passo 2

Converter as temperaturas para a escala absoluta (Kelvin) — isso é obrigatório para usar as fórmulas termodinâmicas. A conversão é:
T(\mathrm{K}) = t(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Aplicando:
T_{\text{quente}} = 800 + 273{,}15 = 1073{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{frio}} = 0 + 273{,}15 = 273{,}15\\ \mathrm{K}.
Explicação rápida: temperaturas termodinâmicas devem estar em Kelvin porque as razões entre temperaturas aparecem em fórmulas e Kelvin é a escala com zero absoluto.

Passo 3

Fórmula da eficiência máxima (Carnot) e por que ela é a máxima:
Uma máquina térmica reversível ideal (máquina de Carnot) operando entre dois reservatórios tem eficiência máxima dada por:
\eta_{\max} = 1 - \frac{T_{\text{frio}}}{T_{\text{quente}}},
onde T_{\text{frio}} e T_{\text{quente}} são as temperaturas absolutas (em Kelvin) do reservatório frio e quente, respectivamente.
Motivo intuitivo: qualquer máquina real irreversível perde mais energia por irreversibilidades; a máquina reversível extrai o máximo possível de trabalho dado os dois termostatos, por isso sua eficiência é um limite superior.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores em Kelvin:
\eta_{\max} = 1 - \frac{273{,}15}{1073{,}15} = \frac{1073{,}15-273{,}15}{1073{,}15} = \frac{800}{1073{,}15}.
Agora calcular numericamente:
\eta_{\max} \approx 0{,}74547\quad\text{(número adimensional)}.ú
Como porcentagem:
\eta_{\max}\approx 74{,}55\%.

Passo 5

Interpretando o resultado da parte (a): a eficiência máxima possível da máquina, operando entre 800^\circ\mathrm{C} e 0^\circ\mathrm{C}, é cerca de 74{,}55\%. Isso significa que, no melhor caso ideal, cerca de 74{,}55\% do calor absorvido pode ser convertido em trabalho mecânico.

Passo 6

Preparar para a parte (b): relação entre calor e trabalho. Definimos W como o trabalho útil entregue pela máquina (trabalho de saída, positivo quando a máquina realiza trabalho). Muitos enunciados usam w com sinal oposto; por isso a pergunta pede -w. Vou usar a notação:
W \equiv -w
(ou seja, W é a magnitude do trabalho entregue pela máquina). A conservação de energia (primeira lei, ciclo completo) para a máquina térmica diz:
q_{\text{in}} = W + q_{\text{out}}.
Daí:
W = q_{\text{in}} - q_{\text{out}},\qquad \eta = \frac{W}{q_{\text{in}}}.
Para maximizar W (ou seja, -w), usamos a eficiência máxima: W_{\max} = \eta_{\max}\, q_{\text{in}}. Então o calor rejeitado mínimo vem de:
q_{\text{out,min}} = q_{\text{in}} - W_{\max}.

Passo 7

Calcular -w_{\max}=W_{\max} usando q_{\text{in}}=1000\\ \mathrm{J}:
W_{\max} = \eta_{\max}\, q_{\text{in}} = \frac{800}{1073{,}15}\times 1000\\ \mathrm{J}.
Fazendo a conta numérica:
W_{\max} \approx 0{,}74547\times 1000\\ \mathrm{J} \approx 745{,}47\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular q_{\text{out,min}}:
q_{\text{out,min}} = q_{\text{in}} - W_{\max} = 1000\\ \mathrm{J} - 745{,}47\\ \mathrm{J} \approx 254{,}53\\ \mathrm{J}.
Interpretação: desses 1000\\ \mathrm{J} absorvidos, no melhor caso 745{,}47\\ \mathrm{J} viram trabalho e pelo menos 254{,}53\\ \mathrm{J} têm de ser rejeitados ao reservatório frio.

Resposta

(a) \eta_{\max} = 1 - \dfrac{273{,}15}{1073{,}15} = \dfrac{800}{1073{,}15}\approx 0{,}74547 \;(\approx 74{,}55\%)\n
(b) -w_{\max} \approx 745{,}47\\ \mathrm{J}; \;q_{\text{out,min}} \approx 254{,}53\\ \mathrm{J}

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