Considere uma máquina térmica que opera utilizando um reservatório a
e outro a
. (a) Calcule a eficiência máxima possível. (b) Se
é 1000 J , calcule o valor máximo de
e o valor mínimo de
.
Passo 1
Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda):
- Dois reservatórios com temperaturas dadas em graus Celsius:
(quente) e (frio). - Parte (a): pedir a eficiência máxima possível da máquina térmica.
- Parte (b): dado que
, pedir o valor máximo de e o valor mínimo de .
Passo 2
Converter as temperaturas para a escala absoluta (Kelvin) — isso é obrigatório para usar as fórmulas termodinâmicas. A conversão é:
Aplicando:
Explicação rápida: temperaturas termodinâmicas devem estar em Kelvin porque as razões entre temperaturas aparecem em fórmulas e Kelvin é a escala com zero absoluto.
Passo 3
Fórmula da eficiência máxima (Carnot) e por que ela é a máxima:
Uma máquina térmica reversível ideal (máquina de Carnot) operando entre dois reservatórios tem eficiência máxima dada por:
Uma máquina térmica reversível ideal (máquina de Carnot) operando entre dois reservatórios tem eficiência máxima dada por:
onde
e
são as temperaturas absolutas (em Kelvin) do reservatório frio e quente, respectivamente.
Motivo intuitivo: qualquer máquina real irreversível perde mais energia por irreversibilidades; a máquina reversível extrai o máximo possível de trabalho dado os dois termostatos, por isso sua eficiência é um limite superior.
Motivo intuitivo: qualquer máquina real irreversível perde mais energia por irreversibilidades; a máquina reversível extrai o máximo possível de trabalho dado os dois termostatos, por isso sua eficiência é um limite superior.
Passo 4
Aplicar a fórmula com os valores em Kelvin:
Agora calcular numericamente:
Como porcentagem:
Passo 5
Interpretando o resultado da parte (a): a eficiência máxima possível da máquina, operando entre
e
, é cerca de
. Isso significa que, no melhor caso ideal, cerca de
do calor absorvido pode ser convertido em trabalho mecânico.
Passo 6
Preparar para a parte (b): relação entre calor e trabalho. Definimos
como o trabalho útil entregue pela máquina (trabalho de saída, positivo quando a máquina realiza trabalho). Muitos enunciados usam
com sinal oposto; por isso a pergunta pede
. Vou usar a notação:
(ou seja,
é a magnitude do trabalho entregue pela máquina). A conservação de energia (primeira lei, ciclo completo) para a máquina térmica diz:
Daí:
Para maximizar
(ou seja,
), usamos a eficiência máxima:
. Então o calor rejeitado mínimo vem de:
Passo 7
Calcular
usando
:
Fazendo a conta numérica:
Passo 8
Calcular
:
Interpretação: desses
absorvidos, no melhor caso
viram trabalho e pelo menos
têm de ser rejeitados ao reservatório frio.
Resposta
(a)
\n
(b) ;
(b)