A temperatura de um gás ideal é aumentada de 300 K para 500 K . Qual é a variacão na entropia molar se (a) o volume é mantido constante. (b) A pressão é mantida constante.

Passo 1

O enunciado dá que a temperatura de um gás ideal muda de T_1=300\\ \mathrm{K} para T_2=500\\ \mathrm{K}. Pede-se a variação da entropia molar nos dois processos:
(a) volume mantido constante;
(b) pressão mantida constante.
Informações relevantes fornecidas:
  • T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • T_2=500\\ \mathrm{K}.
  • O gás é ideal.
  • Queremos a variação da entropia por mol (entropia molar) em cada caso.
    Não foi especificado o tipo do gás (monoatômico, diatômico etc.), logo usaremos as capacidades térmicas molares C_{V,m} e C_{P,m} como parâmetros; onde necessário mostrarei o caso numérico para o gás monoatômico como exemplo.

Passo 2

Definição física que vamos usar: a variação infinitesimal de entropia para um processo reversível é dada por
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui dS é a variação de entropia (por mol, se trabalharmos com uma mole), \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura instantânea.
Explicando os termos calor e capacidades:
  • C_{V,m} é a capacidade térmica molar a volume constante. Significa que, para uma mol de gás, quando se aumenta a temperatura em dT a volume constante, o calor absorvido reversivelmente é \delta Q_{\text{rev}}=C_{V,m}\,dT.
  • C_{P,m} é a capacidade térmica molar a pressão constante. Para uma mol de gás sob pressão constante, \delta Q_{\text{rev}}=C_{P,m}\,dT.
    Essas são definições padrão (assumimos capacidades aproximadamente constantes no intervalo de temperatura dado).

Passo 3

Caso (a): volume mantido constante.
A um volume constante, por definição \delta Q_{\text{rev}}=C_{V,m}\,dT por mol. Substituindo em dS=\delta Q_{\text{rev}}/T obtemos
dS=\frac{C_{V,m}\,dT}{T}.
Integrando de T_1 até T_2 para obter a variação de entropia molar total:
\Delta S_m=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_{V,m}\,dT}{T}=C_{V,m}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}.
A integral de 1/T é o logaritmo natural, logo
\Delta S_m = C_{V,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Aplicando os valores T_1=300\\ \mathrm{K} e T_2=500\\ \mathrm{K},
\Delta S_m = C_{V,m}\ln\!\left(\frac{500}{300}\right)=C_{V,m}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).
Interpretação: a variação é positiva porque a temperatura aumentou; a entropia por mol cresceu.

Passo 4

Caso (b): pressão mantida constante.
A pressão constante implica \delta Q_{\text{rev}}=C_{P,m}\,dT por mol. Repetindo o mesmo raciocínio:
dS=\frac{C_{P,m}\,dT}{T},
e integrando de T_1 a T_2,
\Delta S_m=C_{P,m}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=C_{P,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Com os valores numéricos das temperaturas:
\Delta S_m = C_{P,m}\ln\!\left(\frac{500}{300}\right)=C_{P,m}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).

Passo 5

Relação entre C_{P,m} e C_{V,m} para um gás ideal:
C_{P,m}=C_{V,m}+R,
onde R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Usando isso podemos escrever a resposta do caso (b) também como
\Delta S_m=(C_{V,m}+R)\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).

Passo 6

Exemplo numérico (opcional) — gás monoatômico ideal:
Para um gás monoatômico ideal temos C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R e C_{P,m}=\tfrac{5}{2}R. Calculando \ln(5/3):
\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)\approx 0{,}5108.
Então
\Delta S_m\Big|_{V=\text{cte}}=\tfrac{3}{2}R\cdot 0{,}5108 \approx 6{,}37\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
e
\Delta S_m\Big|_{P=\text{cte}}=\tfrac{5}{2}R\cdot 0{,}5108 \approx 10{,}62\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Esses valores são apenas para o caso específico de gás monoatômico (se o gás for outro, troque C_{V,m} e C_{P,m} correspondentes).

Passo 7

Resumo rápido do procedimento (para a prova): sempre lembre que para variação de entropia você usa dS=\delta Q_{\text{rev}}/T. Em processos a volume constante troque \delta Q_{\text{rev}}=C_{V,m}dT; em processos a pressão constante troque \delta Q_{\text{rev}}=C_{P,m}dT. Integre de T_1 a T_2 para obter a fórmula final em termos de \ln(T_2/T_1). Isso é rápido de aplicar na hora da prova — decore a fórmula e a relação C_{P,m}=C_{V,m}+R.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta S_m = C_{V,m}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).\n
(b) \displaystyle \Delta S_m = C_{P,m}\ln\!\left(\frac{5}{3}\right) = (C_{V,m}+R)\ln\!\left(\frac{5}{3}\right).

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