A temperatura de um gás ideal é aumentada de 300 K para 500 K . Qual é a variacão na entropia molar se (a) o volume é mantido constante. (b) A pressão é mantida constante.
Passo 1
O enunciado dá que a temperatura de um gás ideal muda de T_1=300\\ \mathrm{K} para T_2=500\\ \mathrm{K}. Pede-se a variação da entropia molar nos dois processos:
(a) volume mantido constante;
(b) pressão mantida constante.
Informações relevantes fornecidas:
T_1=300\\ \mathrm{K}.
T_2=500\\ \mathrm{K}.
O gás é ideal.
Queremos a variação da entropia por mol (entropia molar) em cada caso.
Não foi especificado o tipo do gás (monoatômico, diatômico etc.), logo usaremos as capacidades térmicas molares C_{V,m} e C_{P,m} como parâmetros; onde necessário mostrarei o caso numérico para o gás monoatômico como exemplo.
Passo 2
Definição física que vamos usar: a variação infinitesimal de entropia para um processo reversível é dada por
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui dS é a variação de entropia (por mol, se trabalharmos com uma mole), \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura instantânea.
Explicando os termos calor e capacidades:
C_{V,m} é a capacidade térmica molar a volume constante. Significa que, para uma mol de gás, quando se aumenta a temperatura em dT a volume constante, o calor absorvido reversivelmente é \delta Q_{\text{rev}}=C_{V,m}\,dT.
C_{P,m} é a capacidade térmica molar a pressão constante. Para uma mol de gás sob pressão constante, \delta Q_{\text{rev}}=C_{P,m}\,dT.
Essas são definições padrão (assumimos capacidades aproximadamente constantes no intervalo de temperatura dado).
Passo 3
Caso (a): volume mantido constante.
A um volume constante, por definição \delta Q_{\text{rev}}=C_{V,m}\,dT por mol. Substituindo em dS=\delta Q_{\text{rev}}/T obtemos
dS=\frac{C_{V,m}\,dT}{T}.
Integrando de T_1 até T_2 para obter a variação de entropia molar total:
Esses valores são apenas para o caso específico de gás monoatômico (se o gás for outro, troque C_{V,m} e C_{P,m} correspondentes).
Passo 7
Resumo rápido do procedimento (para a prova): sempre lembre que para variação de entropia você usa dS=\delta Q_{\text{rev}}/T. Em processos a volume constante troque \delta Q_{\text{rev}}=C_{V,m}dT; em processos a pressão constante troque \delta Q_{\text{rev}}=C_{P,m}dT. Integre de T_1 a T_2 para obter a fórmula final em termos de \ln(T_2/T_1). Isso é rápido de aplicar na hora da prova — decore a fórmula e a relação C_{P,m}=C_{V,m}+R.