Considere a massa molar do ar igual a M_{m}=28,96 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, a pressão atmosférica ao nível do mar P_{0}=1,01.10^{5} \mathrm{~Pa}, a temperatura T=280 \mathrm{k} .(R=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}) e a gravidade g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a densidade do ar ( \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) nas seguintes alturas:
h=10 \mathrm{~km}

Passo 1

O enunciado pede a densidade do ar a uma altura de h=10\\ \mathrm{km}. O modelo assumido é de atmosfera isoterma, portanto usaremos duas leis da física: o equilíbrio hidrostático e a equação dos gases ideais. Os dados são:
\bullet massa molar do ar \,M_m=28,96\\ \mathrm{g/mol},
\bullet pressão ao nível do mar \,P_0=1,01\times10^5\\ \mathrm{Pa},
\bullet temperatura constante \,T=280\\ \mathrm{K},
\bullet constante universal dos gases \,R=8,31\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
\bullet gravidade \,g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Pela condição de equilíbrio hidrostático em uma atmosfera em repouso, vale
\frac{dp}{dh} = -\rho\,g,
onde p é a pressão e \rho é a densidade. Pela lei dos gases ideais temos
p = \rho\,R_\text{específico}\,T,í
em que o gás específico do ar é
R_\text{específico} = \frac{R}{M_m}\quad\text{(com \(M_m\) em kg/mol).}í
Substituindo \rho = p/(R_\text{específico}T)í na equação de equilíbrio e separando variáveis,
\frac{dp}{p} = -\frac{g}{R_\text{específico}\,T}\,dh.í
Integrando de h=0 (onde p=P_0) até h, obtém-se
p(h) = P_0 \exp\Bigl(-\frac{g\,h}{R_\text{específico}\,T}\Bigr).í
Como \rho = p/(R_\text{específico}T)í, a densidade a h é
\rho(h) = \rho_0 \exp\Bigl(-\frac{g\,h}{R_\text{específico}\,T}\Bigr) \quad\text{com}\quad \rho_0 = \frac{P_0}{R_\text{específico}\,T}.íí

Passo 3

Primeiro convertemos a massa molar para unidades SI, ou seja,
M_m = 28,96\\ \mathrm{g/mol} = 0,02896\\ \mathrm{kg/mol}.
Então
R_\text{específico} = \frac{R}{M_m} = \frac{8,31}{0,02896} \approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.í
A densidade ao nível do mar vale
\rho_0 = \frac{P_0}{R_\text{específico}\,T} = \frac{1,01\times10^5}{287\cdot280} \approx 1,26\\ \mathrm{kg/m^3}.í

Passo 4

Avaliamo-nos o expoente:
-\frac{g\,h}{R_\text{específico}\,T} = -\frac{9,81\cdot10\,000}{287\cdot280} \approx -1,22.í
Logo a densidade a h=10\\ \mathrm{km} é
\rho(10\\ \mathrm{km}) = 1,26 \times e^{-1,22} \approx 0,37\\ \mathrm{kg/m^3}.

Resposta

A densidade do ar a 10\\ \mathrm{km} de altitude é aproximadamente
0,37\\ \mathrm{kg/m^3}.

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