3 Obtenha os campos elétrico e magnético como solução das equações de Maxwell e da equação de onda para uma onda plana monocromática senoidal. Discuta as grandezas envolvidas na propagação da onda: comprimento de onda, frêquencia angular, número de onda, velocidade de propagação.
Passo 1
O enunciado pede para obter os campos elétrico e magnético que satisfazem as equações de Maxwell no vácuo e a equação de onda, assumindo uma onda plana monocromática senoidal. O conteúdo é eletromagnetismo clássico em vácuo: usaremos as equações de Maxwell livres de cargas e correntes e a forma da equação de onda para propor uma solução do tipo plana.
Passo 2
Em vácuo, as equações de Maxwell são
Dessas equações, aplicando
em cada uma das equações de curl e usando identidades vetoriais, obtemos para
e
a equação de onda no vácuo:
Passo 3
Proponhamos uma onda plana monocromática senoidal para o campo elétrico:
Análogo para
. Inserindo essas ansatz na equação de onda, cada componente satisfaz
e o mesmo para
. Para não termos a solução trivial
, impõe-se a relação de dispersão
Passo 4
Da relação de dispersão segue que a velocidade de fase é
ou seja, a velocidade de propagação no vácuo é
, a velocidade da luz. Além disso, como
, temos
ou seja,
é ortogonal a
: a onda é transversal.
Passo 5
Aplicando a equação de Maxwell
ao ansatz, obtenho
logo
Análogo, de
, confirma que
formam um triângulo de vetores mutuamente ortogonais e que
No domínio real, extraindo a parte real, podemos escrever as soluções físicas como
Passo 6
As grandezas envolvidas são:
comprimento de onda
.
frequência angular
.
número de onda
.
velocidade de fase
.
Todos estão ligados pela relação de dispersão . Em cada ponto,
e
oscilam em fase, são perpendiculares entre si e à direção de propagação
, e transportam energia com densidade de fluxo dada pelo vetor de Poynting
.
Todos estão ligados pela relação de dispersão
Resposta
com
,
,
.