3 Obtenha os campos elétrico e magnético como solução das equações de Maxwell e da equação de onda para uma onda plana monocromática senoidal. Discuta as grandezas envolvidas na propagação da onda: comprimento de onda, frêquencia angular, número de onda, velocidade de propagação.

Passo 1

O enunciado pede para obter os campos elétrico e magnético que satisfazem as equações de Maxwell no vácuo e a equação de onda, assumindo uma onda plana monocromática senoidal. O conteúdo é eletromagnetismo clássico em vácuo: usaremos as equações de Maxwell livres de cargas e correntes e a forma da equação de onda para propor uma solução do tipo plana.

Passo 2

Em vácuo, as equações de Maxwell são
\begin{aligned} \nabla\cdot \mathbf{E}&=0,\\\ \nabla\cdot \mathbf{B}&=0,\\\ \nabla\times \mathbf{E}&=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\\\ \nabla\times \mathbf{B}&=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned}
Dessas equações, aplicando \nabla\times em cada uma das equações de curl e usando identidades vetoriais, obtemos para \mathbf{E} e \mathbf{B} a equação de onda no vácuo:
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}, \quad \nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}.

Passo 3

Proponhamos uma onda plana monocromática senoidal para o campo elétrico:
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \mathbf{E}_{0}\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}.
Análogo para \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_{0}\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}. Inserindo essas ansatz na equação de onda, cada componente satisfaz
(-k^{2} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\omega^{2})\,\mathbf{E}_{0}\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}=0
e o mesmo para \mathbf{B}_0. Para não termos a solução trivial \mathbf{E}_0=\mathbf{0}, impõe-se a relação de dispersão
k^{2} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\omega^{2}.

Passo 4

Da relação de dispersão segue que a velocidade de fase é
v = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}} \equiv c,
ou seja, a velocidade de propagação no vácuo é c, a velocidade da luz. Além disso, como \nabla\cdot\mathbf{E}=0, temos
\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_{0}=0,
ou seja, \mathbf{E}_0 é ortogonal a \mathbf{k}: a onda é transversal.

Passo 5

Aplicando a equação de Maxwell \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t ao ansatz, obtenho
i\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{0} \,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} = -(-i\omega)\,\mathbf{B}_{0}\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},
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\mathbf{B}_{0} = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}_{0}.
Análogo, de \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\partial\mathbf{E}/\partial t, confirma que \mathbf{E}_{0},\mathbf{B}_{0},\mathbf{k} formam um triângulo de vetores mutuamente ortogonais e que
|\mathbf{B}_{0}| = \frac{|\mathbf{E}_{0}|}{c}.
No domínio real, extraindo a parte real, podemos escrever as soluções físicas como
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \Re\bigl\{\mathbf{E}_{0}\,e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\bigr\} = \mathbf{E}_{0}\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t),
\mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}_{0}\,\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t).

Passo 6

As grandezas envolvidas são:
\lambda = comprimento de onda = 2\pi/k.
\omega = frequência angular = 2\pi f.
k = número de onda = 2\pi/\lambda.
v = velocidade de fase = \omega/k = \lambda f = c.
Todos estão ligados pela relação de dispersão k = \omega/c. Em cada ponto, \mathbf{E} e \mathbf{B} oscilam em fase, são perpendiculares entre si e à direção de propagação \hat{\mathbf{k}}, e transportam energia com densidade de fluxo dada pelo vetor de Poynting \mathbf{S}=(1/\mu_{0})\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.

Resposta

\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_{0}\cos\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr), \quad \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}_{0}\cos\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t\bigr),
com \omega/k=c, \lambda=2\pi/k, \omega=2\pi f.

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