Escreve a parte real dos campos elétrico e magnético para uma onda plana monocromática de amplitude E_{0}, frequência \omega, e constante de fase ( \delta=0 ) nula que:
viaja na direção negativa de x e está polarizada na direção \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{z}}; Em cada caso dê as componentes cartesianas de \hat{\mathbf{k}} e \hat{\mathbf{n}}. Lembrem-se:
\begin{aligned} \hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{n}} & =0 \\\ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) & =E_{0} \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t+\delta) \hat{\mathbf{n}} \\\ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) & =\frac{E_{0}}{c} \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t+\delta)(\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{n}}) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a parte real dos campos elétrico e magnético de uma onda plana monocromática de amplitude E_{0}, frequência \omega e fase \delta=0, viajando na direção negativa de x e polarizada em \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{z}}. Vamos usar as fórmulas
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=E_{0}\cos\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\delta\bigr)\,\hat{\mathbf{n}},
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\delta\bigr)\,(\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{n}}),
com \delta=0.

Passo 2

Como a onda viaja em \!-x, temos
\hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{x}}, logo
\hat{\mathbf{k}}=(-1,0,0).
A polarização é \hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{z}}, ou seja
\hat{\mathbf{n}}=(0,0,1).
Confirma-se que \hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{n}}=0.

Passo 3

Calculamos primeiro o argumento de cosseno:
\mathbf{k}=k\,\hat{\mathbf{k}}=(-k,0,0), então
\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=(-k,0,0)\cdot(x,y,z)=-k\,x.
Substituindo em \mathbf{E}, com \delta=0, obtemos
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =E_{0}\cos\bigl(-k\,x-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}} =E_{0}\cos\bigl(k\,x+\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 4

Para o campo magnético precisamos de
\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{n}}=(-\hat{\mathbf{x}})\times\hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{y}}.
Logo
\mathbf{B}(\mathbf{r},t) =\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(-k\,x-\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} =\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(k\,x+\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}.

Resposta

\hat{\mathbf{k}}=(-1,0,0), \hat{\mathbf{n}}=(0,0,1)
\mathbf{E}(\mathbf{r},t) =E_{0}\cos\bigl(k\,x+\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{z}},
\mathbf{B}(\mathbf{r},t) =\frac{E_{0}}{c}\cos\bigl(k\,x+\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}.

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