Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
a reflexão T através do eixo y e
a rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
Queremos a matriz de composição R\circ T. Para isso, vamos representar cada transformação por sua matriz e usar produto matricial.

Passo 2

A reflexão T através do eixo y inverte a componente x e mantém y. Sua matriz é
T = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

A rotação R de 240^\circ no sentido anti-horário tem matriz
R = \begin{pmatrix} \cos 240^\circ & -\sin 240^\circ\\[6pt] \sin 240^\circ & \cos 240^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & +\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para obter R\circ T, calculamos o produto
RT = R\,T.
Multiplicando, a primeira coluna de RT é R aplicada ao vetor (-1,0), ou seja, o negativo da primeira coluna de R; a segunda coluna de RT é igual à segunda coluna de R. Logo,
RT = \begin{pmatrix} \tfrac12 & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparando com as opções dadas, reconhecemos que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) \displaystyle \begin{pmatrix}\tfrac12 & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac12\end{pmatrix}]

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