Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado apresenta duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
a reflexão T através do eixo y e
a rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
Queremos a matriz de composição R\circ T. Para isso, vamos representar cada transformação por sua matriz e usar produto matricial.
Passo 2
A reflexão T através do eixo y inverte a componente x e mantém y. Sua matriz é
T = \begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Passo 3
A rotação R de 240^\circ no sentido anti-horário tem matriz
Multiplicando, a primeira coluna de RT é R aplicada ao vetor (-1,0), ou seja, o negativo da primeira coluna de R; a segunda coluna de RT é igual à segunda coluna de R. Logo,