Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(1,-3,0),(2,0,3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(-2,2,-1)\}. Se a_{22}=4, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{33} :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
(F) 5
(G) 6
(H) 7

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} tal que
\mathrm{Núcleo}(A)=\operatorname{span}\{(1,-3,0),(2,0,3)\}ú,
\mathrm{Imagem}(A)=\operatorname{span}\{(-2,2,-1)\},
e informa que a_{22}=4.
Queremos achar a_{33}. O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão e a representação de matrizes de posto 1 como produto externo (outer product).

Passo 2

Como \dim(\mathrm{Núcleo}(A))=2ú em \mathbb{R}^3, pelo Teorema da Dimensão temos
\dim(\mathrm{Imagem}(A)) = 3 - 2 = 1.
Logo \operatorname{rank}(A)=1 e A pode ser escrita como
A = k\,u\,v^T,
onde u\in\mathbb{R}^3 gera a imagem e v\in\mathbb{R}^3 define o núcleo via v^T x=0.

Passo 3

O vetor v satisfaz v^T x=0 para todo x no núcleo. Então v é ortogonal a (1,-3,0) e (2,0,3). Resolvendo
v\cdot(1,-3,0)=0\implies v_1-3v_2=0\implies v_1=3v_2,
v\cdot(2,0,3)=0\implies 2v_1+3v_3=0\implies 6v_2+3v_3=0\implies v_3=-2v_2.
Tomando v_2=1 segue
v = (3,\,1,\,-2).

Passo 4

Escolhemos u como gerador da imagem, isto é
u = (-2,\,2,\,-1).
Então
A = k\,u\,v^T,
e cada entrada é a_{ij}=k\,u_i\,v_j.

Passo 5

Usando a_{22}=4 temos
a_{22} = k\,u_2\,v_2 = k \cdot 2 \cdot 1 = 2k
e, portanto,
2k = 4 \implies k = 2.

Passo 6

Finalmente
a_{33} = k\,u_3\,v_3 = 2 \cdot (-1) \cdot (-2) = 4.

Resposta

4

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