Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-2 x_{4}\right., \left.x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}-3 x_{4}, \quad-2 x_{1}+5 x_{2}-4 x_{3}+5 x_{4}\right). A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x_1,x_2,x_3,x_4)=\bigl(x_1 - x_2 + x_3 - 2x_4,\;x_1 - 4x_2 + 3x_3 - 3x_4,\;-2x_1 + 5x_2 - 4x_3 + 5x_4\bigr).
Queremos a dimensão da imagem de T, que é exatamente o posto (rank) da matriz associada. Para isso, vamos montar essa matriz 3×4 e usar eliminação de Gauss.

Passo 2

A matriz de T em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\\\ 1 & -4 & 3 & -3\\\\ -2 & 5 & -4 & 5 \end{pmatrix}.
Aplicamos agora eliminação de Gauss:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\\\ 0 & -3 & 2 & -1\\\\ 0 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida
R_3 \leftarrow R_3 + R_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\\\ 0 & -3 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Depois da eliminação restam exatamente duas linhas não nulas, portanto o posto de A é 2. Logo
\dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr)=2.

Resposta

(C) 2

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