Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede a matriz que representa a transformação linear T R em \mathbb{R}^2, onde:
R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 330^\circ.
T é a reflexão através do eixo x.
As informações relevantes dadas são portanto o ângulo da rotação (330^\circ) e que a reflexão é pelo eixo x. A tarefa é calcular a matriz da composição T após R, isto é, a matriz de T\circ R, e comparar com as alternativas.
Passo 2
Lembrete importante (aula rápida): a matriz de uma rotação em \mathbb{R}^2 por um ângulo \theta no sentido anti-horário é
onde \cos\theta e \sin\theta são respectivamente as componentes do cosseno e seno do ângulo. Essa fórmula vem de observar a imagem dos vetores básicos (1,0) e (0,1) sob a rotação.]
Passo 3
Aplicando isso com \theta=330^\circ: sabemos trigonometria básica que
Agora a reflexão T através do eixo x age trocando (x,y)\mapsto(x,-y). A matriz que faz isso (veja que aplica-se aos vetores básicos) é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
pois T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(0,-1).]
Passo 5
Explicando a ordem: T R significa primeiro aplicar R e depois T. Em termos de matrizes, a matriz da composição é o produto T\cdot R. Vamos multiplicar explicitamente. Se