Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz que representa a transformação linear T R em \mathbb{R}^2, onde:
  • R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 330^\circ.
  • T é a reflexão através do eixo x.
    As informações relevantes dadas são portanto o ângulo da rotação ( 330^\circ) e que a reflexão é pelo eixo x. A tarefa é calcular a matriz da composição T após R, isto é, a matriz de T\circ R, e comparar com as alternativas.

Passo 2

Lembrete importante (aula rápida): a matriz de uma rotação em \mathbb{R}^2 por um ângulo \theta no sentido anti-horário é
R_{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
onde \cos\theta e \sin\theta são respectivamente as componentes do cosseno e seno do ângulo. Essa fórmula vem de observar a imagem dos vetores básicos (1,0) e (0,1) sob a rotação.]

Passo 3

Aplicando isso com \theta=330^\circ: sabemos trigonometria básica que
\cos(330^\circ)=\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(330^\circ)=-\sin(30^\circ)=-\frac{1}{2}.
Logo, substituindo em R_\theta,
R=R_{330^\circ}=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\left(-\frac{1}{2}\right)\\[4pt]-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora a reflexão T através do eixo x age trocando (x,y)\mapsto(x,-y). A matriz que faz isso (veja que aplica-se aos vetores básicos) é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
pois T(1,0)=(1,0) e T(0,1)=(0,-1).]

Passo 5

Explicando a ordem: T R significa primeiro aplicar R e depois T. Em termos de matrizes, a matriz da composição é o produto T\cdot R. Vamos multiplicar explicitamente. Se
R=\begin{pmatrix}r_{11} & r_{12}\\[4pt]r_{21} & r_{22}\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
então
T R=\begin{pmatrix} 1\cdot r_{11}+0\cdot r_{21} & 1\cdot r_{12}+0\cdot r_{22}\\[4pt] 0\cdot r_{11}+(-1)\cdot r_{21} & 0\cdot r_{12}+(-1)\cdot r_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}r_{11} & r_{12}\\[4pt]-r_{21} & -r_{22}\end{pmatrix}.
Observação: por T ser diagonal \operatorname{diag}(1,-1) a multiplicação só muda o sinal da segunda linha de R.]

Passo 6

Substituindo os elementos de R que obtivemos:
r_{11}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad r_{12}=\frac{1}{2},\quad r_{21}=-\frac{1}{2},\quad r_{22}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
T R=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] -(-\tfrac{1}{2}) & -\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparando a matriz encontrada com as alternativas fornecidas, vemos que corresponde exatamente à alternativa (D):
\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

D

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