Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
então
tem infinitas soluções.
II - Se Imagem
, então
tem solução para todo
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
II - Se Imagem
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Enunciado e o que se pede.
Temos uma matriz
de tamanho
. São dadas duas afirmativas:
I - Se
e
então
tem infinitas soluções.
II - Se
, então
tem solução para todo
.
A pergunta é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? (alternativas: (A) todas falsas, (B) só I verdadeira, (C) só II verdadeira, (D) todas verdadeiras).
Informações dadas importantes:
-
é (ou seja, linhas e colunas). - A condição
aparece apenas em I. - Em I é assumido também que
(ou seja, que existe pelo menos uma solução). - Em II temos a hipótese
.
Passo 2
O que significam os termos usados (aula curta, bem mastigada).
Definições e ideias básicas que vamos usar:
-
(ou espaço coluna) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear das colunas de . Em outras palavras, significa que existe algum tal que . -
(nucleo ou espaço nulo) é o conjunto de soluções da equação . Se existe um vetor não-nulo em , então a homogênea tem soluções não-triviais. -
Posto (rank) de
, denotado ou , é a dimensão da . Sempre . -
Teorema do posto-nulidade (Rank-Nullity): para uma matriz
vale
Isto relaciona quantas variáveis “livres” existem com o posto.
Interpretação prática: se
então existem infinitos vetores na forma
(com
) que são soluções de
, sempre que existir uma solução particular
.
Passo 3
Análise e prova da afirmativa I.
Hipóteses de I:
(existe ao menos uma solução) e
.
Raciocínio detalhado:
-
Como
, temos . Mas dado segue que . Portanto . -
Aplicando o teorema do posto-nulidade:
Como
, então
. Logo
: o núcleo não é só o vetor zero; existe pelo menos um vetor não-nulo
com
.
-
Agora, como
, existe uma solução particular tal que . -
Para qualquer escalar
(ou campo adotado) vale
Como
é não-nulo e
pode variar por infinitos valores, obtemos infinitas soluções distintas
.
Conclusão: sob as hipóteses de I, a equação
tem de fato infinitas soluções. Portanto I é verdadeira.
Exemplo concreto para fixar a ideia: escolha
Aqui
,
. Uma solução particular é
. O núcleo é formado por vetores
. Assim todas as soluções são
com
: infinitas soluções.]
Passo 4
Análise e prova da afirmativa II.
Hipótese de II:
.
Raciocínio detalhado:
-
A
é exatamente o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como . Se , isso significa que todo vetor é combinação linear das colunas de . -
Por definição disso, para qualquer
existe algum tal que . Ou seja, a equação tem solução para todo .
Comentário adicional (útil na prova): essa condição equivale a
(posto máximo em linhas). Quando
as colunas geram todo
, logo imagem igual a
.
Conclusão: II é verdadeira.
Passo 5
Conclusão final combinando I e II.
Mostramos que I é verdadeira (porque
garante núcleo não-trivial e, com existência de uma solução particular
, gera família infinita de soluções) e que II é verdadeira (pela própria definição de imagem igual a
, qualquer
é atingido por
).
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.