Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \vec{b} \in \operatorname{Imagem} A e m<n então A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
II - Se Imagem A=\mathbb{R}^{m}, então A \vec{x}=\vec{b} tem solução para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Enunciado e o que se pede.
Temos uma matriz A de tamanho m\times n. São dadas duas afirmativas:
I - Se \vec{b}\in \operatorname{Imagem} A e m<n então A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções.
II - Se \operatorname{Imagem} A=\mathbb{R}^{m}, então A\vec{x}=\vec{b} tem solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
A pergunta é: quais dessas afirmativas são verdadeiras? (alternativas: (A) todas falsas, (B) só I verdadeira, (C) só II verdadeira, (D) todas verdadeiras).
Informações dadas importantes:
  • A é m\times n (ou seja, m linhas e n colunas).
  • A condição m<n aparece apenas em I.
  • Em I é assumido também que \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A (ou seja, que existe pelo menos uma solução).
  • Em II temos a hipótese \operatorname{Imagem} A=\mathbb{R}^{m}.

Passo 2

O que significam os termos usados (aula curta, bem mastigada).
Definições e ideias básicas que vamos usar:
  • \operatorname{Imagem} A (ou espaço coluna) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear das colunas de A. Em outras palavras, \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A significa que existe algum \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{b}.
  • \ker(A) (nucleo ou espaço nulo) é o conjunto de soluções da equação A\vec{x}=\vec{0}. Se existe um vetor não-nulo em \ker(A), então a homogênea tem soluções não-triviais.
  • Posto (rank) de A, denotado \operatorname{rank}(A) ou \operatorname{posto}(A), é a dimensão da \operatorname{Imagem} A. Sempre \operatorname{rank}(A)\le \min(m,n).
  • Teorema do posto-nulidade (Rank-Nullity): para uma matriz m\times n vale
\operatorname{rank}(A)+\dim(\ker(A))=n.
Isto relaciona quantas variáveis “livres” existem com o posto.
Interpretação prática: se \dim(\ker(A))>0 então existem infinitos vetores na forma \vec{x}_0+\vec{v} (com \vec{v}\in\ker(A)) que são soluções de A\vec{x}=\vec{b}, sempre que existir uma solução particular \vec{x}_0.

Passo 3

Análise e prova da afirmativa I.
Hipóteses de I: \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A (existe ao menos uma solução) e m<n.
Raciocínio detalhado:
  1. Como \operatorname{rank}(A)\le \min(m,n), temos \operatorname{rank}(A)\le m. Mas dado m<n segue que \operatorname{rank}(A)\le m<n. Portanto \operatorname{rank}(A)<n.
  2. Aplicando o teorema do posto-nulidade:
\dim(\ker(A))=n-\operatorname{rank}(A).
Como \operatorname{rank}(A)<n, então n-\operatorname{rank}(A)>0. Logo \dim(\ker(A))\ge 1: o núcleo não é só o vetor zero; existe pelo menos um vetor não-nulo \vec{v} com A\vec{v}=\vec{0}.
  1. Agora, como \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A, existe uma solução particular \vec{x}_0 tal que A\vec{x}_0=\vec{b}.
  2. Para qualquer escalar t\in\mathbb{R} (ou campo adotado) vale
A(\vec{x}_0+t\vec{v})=A\vec{x}_0+tA\vec{v}=\vec{b}+t\cdot\vec{0}=\vec{b}.
Como \vec{v} é não-nulo e t pode variar por infinitos valores, obtemos infinitas soluções distintas \vec{x}_0+t\vec{v}.
Conclusão: sob as hipóteses de I, a equação A\vec{x}=\vec{b} tem de fato infinitas soluções. Portanto I é verdadeira.
Exemplo concreto para fixar a ideia: escolha
A=\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix}, \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Aqui m=2<n=3, \vec{b}\in\operatorname{Imagem} A. Uma solução particular é \vec{x}_0=(2,3,0)^T. O núcleo é formado por vetores (0,0,t)^T. Assim todas as soluções são (2,3,t)^T com t\in\mathbb{R}: infinitas soluções.]

Passo 4

Análise e prova da afirmativa II.
Hipótese de II: \operatorname{Imagem} A=\mathbb{R}^{m}.
Raciocínio detalhado:
  1. A \operatorname{Imagem} A é exatamente o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como A\vec{x}. Se \operatorname{Imagem} A=\mathbb{R}^{m}, isso significa que todo vetor \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} é combinação linear das colunas de A.
  2. Por definição disso, para qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} existe algum \vec{x} tal que A\vec{x}=\vec{b}. Ou seja, a equação tem solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}.
Comentário adicional (útil na prova): essa condição equivale a \operatorname{rank}(A)=m (posto máximo em linhas). Quando \operatorname{rank}(A)=m as colunas geram todo \mathbb{R}^{m}, logo imagem igual a \mathbb{R}^{m}.
Conclusão: II é verdadeira.

Passo 5

Conclusão final combinando I e II.
Mostramos que I é verdadeira (porque m<n garante núcleo não-trivial e, com existência de uma solução particular \vec{b}\in\operatorname{Imagem}A, gera família infinita de soluções) e que II é verdadeira (pela própria definição de imagem igual a \mathbb{R}^m, qualquer \vec{b} é atingido por A\vec{x}).
Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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