Q5:
é tal que Núcleo
e Imagem
. Se
, calcule a matriz
. Assinale abaixo o valor da entrada
:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz
sabendo duas informações sobre ela e, a partir daí, informar o valor da entrada
. Informações dadas:
- Núcleo de
(ou seja, ) é . - Imagem de
(ou seja, ) é . - Foi dada a entrada
(terceira linha, segunda coluna).
A pergunta específica: qual é o valor de? (opções listadas de (A) a (H)).
Passo 2
Primeira observação importante (intuitiva): como
tem dimensão
(é o span de duas vetores independentes) e a matriz é
, pela fórmula de dimensão (teorema posto de forma elemental) temos
. Portanto
Isso significa que a imagem de
é uma reta em
, compatível com a informação
.
Passo 3
Como
e
, cada coluna de
é um múltiplo escalar do vetor
. Vamos escrever as colunas como
onde
são escalares a determinar. Assim a matriz
tem a forma (produto externo)
Passo 4
Agora usamos a condição do núcleo: se
então
. Para os vetores que geram o núcleo isso deve acontecer. Escrevemos as igualdades correspondentes para os dois geradores do núcleo.
Para
temos
Substituindo
dá
Como
, isso implica a condição escalar
Passo 5
Para o segundo gerador
temos
Substituindo
dá
logo a condição escalar
Passo 6
Resumindo, os
Vamos resolver esse sistema em termos de um parâmetro. Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Dividindo por (2]:
]
Passo 7
Portanto todas as
são proporcionais a
:
Isso descreve todas as matrizes
que satisfazem as condições de núcleo e imagem: suas colunas são múltiplos de
com esses coeficientes proporcionais.
Passo 8
Agora usamos a informação numérica dada:
. A entrada
é a terceira coordenada da segunda coluna
. Como
e
, a terceira coordenada de
é
. Assim
Passo 9
Como
(do Passo 6), temos
E então
Passo 10
Agora podemos escrever explicitamente as colunas:
Assim a matriz
(linha a linha) tem primeira linha
, segunda linha
, terceira linha
.
Passo 11
A entrada pedida é
, isto é, primeira linha, terceira coluna. Pela matriz acima,
Resposta
(G)