Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,-2,0),(1,0,2)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(1,3,-1)\}. Se a_{32}=15, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{13} :
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz A_{3\times3} sabendo duas informações sobre ela e, a partir daí, informar o valor da entrada a_{13}. Informações dadas:
  • Núcleo de A (ou seja, \ker A) é \operatorname{span}\{(-3,-2,0),(1,0,2)\}.
  • Imagem de A (ou seja, \operatorname{Im} A) é \operatorname{span}\{(1,3,-1)\}.
  • Foi dada a entrada a_{32}=15 (terceira linha, segunda coluna).
    A pergunta específica: qual é o valor de a_{13}? (opções listadas de (A) a (H)).

Passo 2

Primeira observação importante (intuitiva): como \ker A tem dimensão 2 (é o span de duas vetores independentes) e a matriz é 3\times3, pela fórmula de dimensão (teorema posto de forma elemental) temos \operatorname{rank}A+\dim\ker A=3. Portanto
\operatorname{rank}A=3-\dim\ker A=3-2=1.
Isso significa que a imagem de A é uma reta em \mathbb{R}^3, compatível com a informação \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(1,3,-1)\}.

Passo 3

Como \operatorname{rank}A=1 e \operatorname{Im}A=\operatorname{span}\{(1,3,-1)\}, cada coluna de A é um múltiplo escalar do vetor v=(1,3,-1). Vamos escrever as colunas como
c_1=\alpha_1 v,\qquad c_2=\alpha_2 v,\qquad c_3=\alpha_3 v,
onde \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 são escalares a determinar. Assim a matriz A tem a forma (produto externo)
A = v\begin{pmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora usamos a condição do núcleo: se x\in\ker A então Ax=0. Para os vetores que geram o núcleo isso deve acontecer. Escrevemos as igualdades correspondentes para os dois geradores do núcleo.
Para k^{(1)}=(-3,-2,0) temos
-3c_1-2c_2+0\cdot c_3 = 0.
Substituindo c_j=\alpha_j v
(-3\alpha_1-2\alpha_2)\,v = 0.
Como v\neq 0, isso implica a condição escalar
-3\alpha_1-2\alpha_2=0.

Passo 5

Para o segundo gerador k^{(2)}=(1,0,2) temos
1\cdot c_1 + 0\cdot c_2 + 2\cdot c_3 = 0.
Substituindo c_j=\alpha_j v
(\alpha_1 + 2\alpha_3)\,v = 0,
logo a condição escalar
\alpha_1 + 2\alpha_3 = 0.

Passo 6

Resumindo, os \alpha_j\) devem satisfazer o sistema escalar \[\begin{cases} -3\alpha_1 - 2\alpha_2 = 0,\\[4pt] \alpha_1 + 2\alpha_3 = 0. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema em termos de um parâmetro. Da segunda equação vem
\alpha_1 = -2\alpha_3.
Substituindo na primeira:
-3(-2\alpha_3) - 2\alpha_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6\alpha_3 - 2\alpha_2 = 0.
Dividindo por (2]:
3\alpha_3 - \alpha_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_2 = 3\alpha_3.]

Passo 7

Portanto todas as \alpha_j são proporcionais a \alpha_3:
(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \alpha_3(-2,\,3,\,1).
Isso descreve todas as matrizes A que satisfazem as condições de núcleo e imagem: suas colunas são múltiplos de v com esses coeficientes proporcionais.

Passo 8

Agora usamos a informação numérica dada: a_{32}=15. A entrada a_{32} é a terceira coordenada da segunda coluna c_2. Como c_2=\alpha_2 v e v=(1,3,-1), a terceira coordenada de c_2 é \alpha_2\cdot(-1)=-\alpha_2. Assim
-\alpha_2 = a_{32} = 15 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_2 = -15.

Passo 9

Como \alpha_2 = 3\alpha_3 (do Passo 6), temos
3\alpha_3 = -15 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_3 = -5.
E então
\alpha_1 = -2\alpha_3 = -2(-5) = 10.

Passo 10

Agora podemos escrever explicitamente as colunas:
c_1 = \alpha_1 v = 10(1,3,-1) = (10,30,-10),
c_2 = \alpha_2 v = -15(1,3,-1) = (-15,-45,15),
c_3 = \alpha_3 v = -5(1,3,-1) = (-5,-15,5).
Assim a matriz A (linha a linha) tem primeira linha (10,\,-15,\,-5), segunda linha (30,\,-45,\,-15), terceira linha (-10,\,15,\,5).

Passo 11

A entrada pedida é a_{13}, isto é, primeira linha, terceira coluna. Pela matriz acima,
a_{13} = -5.

Resposta

(G) -5

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