Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^{2} e pede a matriz da composição R T. Perguntas e dados fornecidos:
Pergunta: qual é a matriz que representa a transformação linear R T (aplicar primeiro T, depois R)?
Dados:
R é uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330^\circ.
T é a projeção ortogonal sobre o eixo x (ou seja, envia (x,y) para (x,0)).
O enunciado fornece uma lista de alternativas (matrizes) entre as quais devemos identificar a correta.
Passo 2
Entender a matriz da projeção T sobre o eixo x.
A projeção sobre o eixo x manda o vetor (x,y) para (x,0). Em coordenadas canônicas, isso significa:
T(e_{1}) = (1,0),\qquad T(e_{2}) = (0,0),
onde e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1) são as colunas da base canônica. Logo a matriz de T na base canônica é a matriz que tem como primeira coluna T(e_{1}) e como segunda coluna T(e_{2}). Portanto:
T = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Breve explicação: cada coluna de uma matriz linear aplicada à base canônica é a imagem daquele vetor-base. Assim montamos a matriz com essas imagens.]
Passo 3
Recordar a fórmula da matriz de rotação.
A rotação em \mathbb{R}^{2} por um ângulo \theta (no sentido anti-horário) tem, em coordenadas canônicas, a matriz:
onde \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas usuals. Aqui cada coluna representa a imagem de e_{1} e e_{2} respectivamente: a primeira coluna é R(\theta)(1,0)=(\cos\theta,\sin\theta) e a segunda coluna é R(\theta)(0,1)=(-\sin\theta,\cos\theta).]
Passo 4
Aplicar a fórmula ao ângulo \theta=330^\circ.
Calculemos \cos 330^\circ e \sin 330^\circ. Sabendo que 330^\circ = 360^\circ - 30^\circ, temos:
Explicação: substituímos \cos\theta e \sin\theta na forma padrão da matriz de rotação.]
Passo 5
Calcular a composição R T.
A matriz da composição R T (aplicar T primeiro, depois R) é o produto matricial R\cdot T. Usamos as matrizes encontradas:
R = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando R por T:
R T = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Lembre que multiplicar por essa matriz de projeção zera a segunda coluna e mantém a primeira coluna igual à primeira coluna de R (porque a segunda coluna de T é (0,0) e a primeira é (1,0)). Fazendo o produto coluna a coluna:
Primeira coluna de R T é R vezes a primeira coluna de T, isto é R\,(1,0) = primeira coluna de R=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Segunda coluna de R T é R vezes a segunda coluna de T, isto é R\,(0,0) = (0,0).
Portanto:
R T = \begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\\[8pt]-\dfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.]
Passo 6
Interpretação rápida para a prova (dica prática).
Uma forma rápida para este tipo de composição é aplicar a transformação da direita às colunas da matriz identidade (ou às colunas de T neste caso) e então aplicar a transformação da esquerda. No caso de projeção sobre x, a segunda coluna vira zero, por isso o produto elimina a segunda coluna de R.
Se você estiver com pouco tempo: escreva logo T=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, calcule R com \cos e \sin do ângulo dado, e multiplique; muitas vezes isso é só copiar a primeira coluna de R e zerar a segunda, como ocorreu aqui.