Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(2,2,0),(1,0,-2)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(3,-2,3)\}. Se a_{31}=-30, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{12} :
(A) 25
(B) 26
(C) 27
(D) 28
(E) 29
(F) 30
(G) 31
(H) 32
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A de ordem 3\times3 com as seguintes informações:
Núcleo de A é \operatorname{span}\{(2,2,0),(1,0,-2)\}.
Imagem de A é \operatorname{span}\{(3,-2,3)\}.
A entrada a_{31} (terceira linha, primeira coluna) vale -30.
O que o problema pede: calcular a matriz A e, em particular, encontrar o valor da entrada a_{12} (primeira linha, segunda coluna).
Passo 2
Interpretação básica das informações fornecidas (sem resolver ainda): como o núcleo tem dois vetores linearmente independentes, a dimensão do núcleo (nullidade) é 2. Pelo teorema da dimensão (rank-nullity) para matrizes 3\times3 temos
\dim(\text{imagem}) + \dim(\text{núcleo}) = 3.
Como \dim(\text{núcleo})=2, segue que \dim(\text{imagem})=1. Isso confirma que a imagem é uma reta gerada por um único vetor, consistente com a informação \operatorname{span}\{(3,-2,3)\}.
Passo 3
Vamos representar as colunas de A. Escrevemos as colunas de A como c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}^3. Qualquer produto A(x_1,x_2,x_3)^T é x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3. Como a imagem tem dimensão 1 e é gerada por (3,-2,3), cada coluna deve ser um múltiplo desse gerador. Ou seja, existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
c_i=\alpha_i\,(3,-2,3)\quad\text{para }i=1,2,3.
Passo 4
Usamos a condição de núcleo: se v está no núcleo, então A v = 0. Para v=(2,2,0) temos
A(2,2,0)^T = 2c_1 + 2c_2 + 0\cdot c_3 = 0.
Substituindo c_i=\alpha_i(3,-2,3) obtemos
(2\alpha_1 + 2\alpha_2)\,(3,-2,3) = 0.
Como (3,-2,3) é vetor não nulo, o fator escalar deve ser zero:
(Isto é, cada coluna é o gerador (3,-2,3) multiplicado pelo respectivo coeficiente.)
Passo 7
Agora usamos a condição numérica fornecida: a_{31}=-30. A entrada a_{31} é a componente 3 da primeira coluna c_1. A componente 3 de (3,-2,3) é 3, então a componente 3 de c_1=2t(3,-2,3) é 2t\cdot 3 = 6t. Assim
Pedem o valor de a_{12}, que é a entrada da primeira linha e segunda coluna. Olhando para c_2=(30,-20,30), a primeira componente é 30. Logo
a_{12}=30.
Verificação rápida: as colunas são múltiplos de (3,-2,3) (imagem correta) e satisfazem as duas relações do núcleo (verifique c_1+c_2=0 e c_1-2c_3=0), e a_{31}=-30 confere.