Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede a matriz da composição T R, onde:
R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de \,210^\circ.
T é a reflexão através do eixo y.
Informações relevantes fornecidas:
Ângulo da rotação: \,210^\circ.
Ordem da composição: primeiro aplica-se R, depois aplica-se T. Em termos de matrizes isso corresponde a multiplicar a matriz de T à esquerda da matriz de R (isto é, calcular T\cdot R).
Queremos comparar o resultado com as alternativas (A) a (H).
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) a fórmula da matriz de rotação: para um ângulo \theta (em sentido anti-horário), a matriz de rotação R(\theta) é
Explicação curta do porquê: a rotação transforma o vetor (1,0) em (\cos\theta,\sin\theta) e o vetor (0,1) em (-\,\sin\theta,\cos\theta); as colunas da matriz são exatamente as imagens desses vetores.
Aqui \theta=210^\circ. Para calcular \cos 210^\circ e \sin 210^\circ usamos identidades de ângulos relacionados:
Expliquei cada substituição: o segundo elemento da primeira linha é -\sin\theta; como \sin 210^\circ=-\tfrac{1}{2}, então -\sin 210^\circ=+\tfrac{1}{2}.]
Passo 4
Agora a reflexão T através do eixo y transforma (x,y) em (-x,y). A matriz correspondente é, por ação nas bases: