Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 210 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede a matriz da composição T R, onde:
  • R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de \,210^\circ.
  • T é a reflexão através do eixo y.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ângulo da rotação: \,210^\circ.
  • Ordem da composição: primeiro aplica-se R, depois aplica-se T. Em termos de matrizes isso corresponde a multiplicar a matriz de T à esquerda da matriz de R (isto é, calcular T\cdot R).
  • Queremos comparar o resultado com as alternativas (A) a (H).

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) a fórmula da matriz de rotação: para um ângulo \theta (em sentido anti-horário), a matriz de rotação R(\theta) é
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Explicação curta do porquê: a rotação transforma o vetor (1,0) em (\cos\theta,\sin\theta) e o vetor (0,1) em (-\,\sin\theta,\cos\theta); as colunas da matriz são exatamente as imagens desses vetores.
Aqui \theta=210^\circ. Para calcular \cos 210^\circ e \sin 210^\circ usamos identidades de ângulos relacionados:
210^\circ = 180^\circ + 30^\circ,
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\cos 210^\circ = \cos(180^\circ+30^\circ) = -\cos 30^\circ,
\sin 210^\circ = \sin(180^\circ+30^\circ) = -\sin 30^\circ.
Sabendo que \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, obtemos
\cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 210^\circ = -\dfrac{1}{2}.]

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula da matriz de rotação, obtemos a matriz de R:
R=R(210^\circ)=\begin{pmatrix}\cos 210^\circ & -\sin 210^\circ \\[4pt] \sin 210^\circ & \cos 210^\circ\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\big(-\dfrac{1}{2}\big) \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
Expliquei cada substituição: o segundo elemento da primeira linha é -\sin\theta; como \sin 210^\circ=-\tfrac{1}{2}, então -\sin 210^\circ=+\tfrac{1}{2}.]

Passo 4

Agora a reflexão T através do eixo y transforma (x,y) em (-x,y). A matriz correspondente é, por ação nas bases:
T=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Motivação: a primeira coluna é a imagem de (1,0), que vai para (-1,0); a segunda coluna é a imagem de (0,1), que fica (0,1).]

Passo 5

Queremos a matriz da composição T R. Em termos de matrizes isso significa
TR = T\cdot R.
Para multiplicar duas matrizes A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}), o elemento (i,j) do produto C=AB é
c_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik} b_{kj}.
Aqui vamos aplicar isso diretamente com T e R.

Passo 6

Escrevemos explicitamente T e R:
T=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculemos TR linha a linha.
Primeira linha de TR = primeira linha de T multiplicada por R. A primeira linha de T é (-1,0). Multiplicando pelas colunas de R:
  • Elemento (1,1):
(-1)\cdot\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) + 0\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Elemento (1,2):
(-1)\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big) + 0\cdot\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -\dfrac{1}{2}.
Portanto a primeira linha de TR é \big(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\; -\dfrac{1}{2}\big).

Passo 8

Segunda linha de TR = segunda linha de T multiplicada por R. A segunda linha de T é (0,1). Multiplicando:
  • Elemento (2,1):
0\cdot\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) + 1\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big) = -\dfrac{1}{2}.
  • Elemento (2,2):
0\cdot\Big(\dfrac{1}{2}\Big) + 1\cdot\Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a segunda linha de TR é \big(-\dfrac{1}{2},\; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big).

Passo 9

Juntando as linhas, a matriz TR é
TR=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora comparamos com as alternativas dadas. A alternativa (C) é exatamente
\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix},
portanto a opção correta é (C).]

Resposta

(C)

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