e pergunta qual é a dimensão da imagem de T\).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\[\begin{cases} \text{primeira componente: }x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4},\\[4pt] \text{segunda componente: }-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4},\\[4pt] \text{terceira componente: }2x_{1}+2x_{2}-6x_{3}+3x_{4}. \end{cases}
O que se pede: calcular \dim(\operatorname{Im} T)\] — a dimensão do espaço imagem (ou coluna) de \(T.]
Passo 2
O que significa “dimensão da imagem”? Vou explicar de forma simples: a transformação T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 pode ser representada por uma matriz A de tamanho 3\times4 cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos. A dimensão da imagem de T é o número de colunas linearmente independentes dessa matriz, que é o mesmo que o posto (rank) da matriz. Então nosso método prático: montar a matriz A e calcular seu posto por eliminação de Gauss (contando pivôs).
A matriz A (cada linha são as componentes dadas) é
Mostrei os cálculos assim: para R_2 temos (-1)+1=0,\;(-1)+(-1)=-2,\;2+(-1)=1,\;(-1)+2=1. Para R_3 temos 2-2\cdot1=0,\;2-2(-1)=4,\;-6-2(-1)=-4,\;3-2\cdot2=-1.]
Passo 4
Agora queremos um pivô na coluna 2 (na linha 2). Podemos usar a linha 2 tal como está e zerar a entrada da linha 3 na coluna 2. Faço R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2:
Explicando: dividir (0,-2,1,1) por -2 gera (0,1,-\tfrac12,-\tfrac12). Dividir (0,0,-2,1) por -2 gera (0,0,1,-\tfrac12).]
Passo 6
Agora vamos eliminar acima do pivô da terceira coluna para chegar em forma escalonada reduzida (ou pelo menos zerar as entradas sobre o pivô da terceira coluna). Usamos R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3 para zerar o -\tfrac{1}{2} em R_2, e R_1 \leftarrow R_1 + R_3 para zerar o -1 em R_1 na terceira coluna. Depois eliminamos o componente da coluna 2 em R_1 com R_1 \leftarrow R_1 + R_2. Fazendo isso em sequência:
Agora contemos os pivôs (as colunas com leading ones): há pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que há 3 colunas linearmente independentes e, portanto,
Observação rápida e tranquilizadora: o posto não pode ser maior que o menor entre número de linhas e colunas; aqui o máximo possível era 3 (porque a imagem está em \mathbb{R}^3), e de fato atingimos esse máximo.