Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}-x_{3}+2 x_{4}\right., \left.-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}, \quad 2 x_{1}+2 x_{2}-6 x_{3}+3 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4},\,-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4},\,2x_{1}+2x_{2}-6x_{3}+3x_{4}\bigr)
e pergunta qual é a dimensão da imagem de T\). Informações relevantes dadas pelo enunciado: \[\begin{cases} \text{primeira componente: }x_{1}-x_{2}-x_{3}+2x_{4},\\[4pt] \text{segunda componente: }-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4},\\[4pt] \text{terceira componente: }2x_{1}+2x_{2}-6x_{3}+3x_{4}. \end{cases}
O que se pede: calcular \dim(\operatorname{Im} T)\] — a dimensão do espaço imagem (ou coluna) de \(T.]

Passo 2

O que significa “dimensão da imagem”? Vou explicar de forma simples: a transformação T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 pode ser representada por uma matriz A de tamanho 3\times4 cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos. A dimensão da imagem de T é o número de colunas linearmente independentes dessa matriz, que é o mesmo que o posto (rank) da matriz. Então nosso método prático: montar a matriz A e calcular seu posto por eliminação de Gauss (contando pivôs).
A matriz A (cada linha são as componentes dadas) é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] -1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 2 & -6 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos começar a eliminar para encontrar pivôs (linha a linha). Primeiro uso a linha 1 como pivô na coluna 1 e zereo as entradas abaixo dela:
Aplicando R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & -4 & -1 \end{pmatrix}.
Mostrei os cálculos assim: para R_2 temos (-1)+1=0,\;(-1)+(-1)=-2,\;2+(-1)=1,\;(-1)+2=1. Para R_3 temos 2-2\cdot1=0,\;2-2(-1)=4,\;-6-2(-1)=-4,\;3-2\cdot2=-1.]

Passo 4

Agora queremos um pivô na coluna 2 (na linha 2). Podemos usar a linha 2 tal como está e zerar a entrada da linha 3 na coluna 2. Faço R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Cálculo do R_3: 4 + 2(-2)=0,\;-4 + 2\cdot1=-2,\;-1 + 2\cdot1=1.]

Passo 5

Agora simplifico as linhas 2 e 3 para ter pivôs iguais a 1. Faço R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 e R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Explicando: dividir (0,-2,1,1) por -2 gera (0,1,-\tfrac12,-\tfrac12). Dividir (0,0,-2,1) por -2 gera (0,0,1,-\tfrac12).]

Passo 6

Agora vamos eliminar acima do pivô da terceira coluna para chegar em forma escalonada reduzida (ou pelo menos zerar as entradas sobre o pivô da terceira coluna). Usamos R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3 para zerar o -\tfrac{1}{2} em R_2, e R_1 \leftarrow R_1 + R_3 para zerar o -1 em R_1 na terceira coluna. Depois eliminamos o componente da coluna 2 em R_1 com R_1 \leftarrow R_1 + R_2. Fazendo isso em sequência:
Depois de R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_3:
R_2 = \bigl(0,\,1,\,0,\,-\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})\bigr) = \bigl(0,\,1,\,0,\,-\tfrac{3}{4}\bigr).
Depois de R_1 \leftarrow R_1 + R_3:
R_1 = \bigl(1,\,-1,\,0,\,2 + (-\tfrac{1}{2})\bigr) = \bigl(1,\,-1,\,0,\,\tfrac{3}{2}\bigr).
Finalmente R_1 \leftarrow R_1 + R_2 zera a segunda entrada de R_1:
R_1 = \bigl(1,\,0,\,0,\,\tfrac{3}{2} + (-\tfrac{3}{4})\bigr) = \bigl(1,\,0,\,0,\,\tfrac{3}{4}\bigr).
A matriz fica então, em forma escalonada reduzida (parcial),
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{3}{4}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{3}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora contemos os pivôs (as colunas com leading ones): há pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que há 3 colunas linearmente independentes e, portanto,
\dim(\operatorname{Im} T)=\operatorname{rank}(A)=3.
Observação rápida e tranquilizadora: o posto não pode ser maior que o menor entre número de linhas e colunas; aqui o máximo possível era 3 (porque a imagem está em \mathbb{R}^3), e de fato atingimos esse máximo.

Resposta

(D) 3

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