Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,1,0),(-1,0,-1)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(-1,2,-2)\}. Se a_{32}=12, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{21} :
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: encontrar a entrada \,a_{21}\, da matriz A_{3\times3}, sabendo:
e que a entrada \,a_{32}=12.
Informações relevantes listadas: os vetores do núcleo (dois vetores), o gerador da imagem (um vetor) e um valor numérico de uma entrada da matriz. O que se pede: o valor de \,a_{21}\,.
Passo 2
Interpretação das dimensões (explicação do conceito usado): o núcleo é gerado por dois vetores, então \dim(\ker A)=2. Pela fórmula da nulidade posto (rank-nullity) para matrizes 3\times3,
\dim(\ker A)+\dim(\operatorname{Im}A)=3.
Como \dim(\ker A)=2, segue que \dim(\operatorname{Im}A)=1. Isso está consistente com a imagem dada, que é gerada por um único vetor.
Passo 3
Observação essencial sobre as colunas: cada coluna de A pertence à imagem de A, que é o subespaço gerado por u=(-1,2,-2). Portanto cada coluna é um múltiplo escalar de u. Introduzo escalares desconhecidos x_1,x_2,x_3 tais que as colunas de A são
c_1=x_1 u,\qquad c_2=x_2 u,\qquad c_3=x_3 u.
Assim podemos representar A como produto externo
A = u\,r,
onde r=(x_1,x_2,x_3) é um vetor linha (ou seja, A tem forma u r).
Passo 4
Condição do núcleo (explicação do que isso implica): se v é um vetor do núcleo então A v=0. Com A=u r temos A v = u\,(r v). Como u\neq0, isto implica que r v=0 (produto interno escalar, resultado escalar). Logo o vetor linha r é ortogonal a todo vetor do núcleo; em particular r deve ser ortogonal às duas bases do núcleo fornecidas. Escrevo r=(r_1,r_2,r_3) e imponho: