Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,1,0),(-1,0,-1)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(-1,2,-2)\}. Se a_{32}=12, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{21} :
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: encontrar a entrada \,a_{21}\, da matriz A_{3\times3}, sabendo:
\text{Núcleo }A=\operatorname{span}\{(-3,1,0),(-1,0,-1)\}ú
\text{Imagem }A=\operatorname{span}\{(-1,2,-2)\}
e que a entrada \,a_{32}=12.
Informações relevantes listadas: os vetores do núcleo (dois vetores), o gerador da imagem (um vetor) e um valor numérico de uma entrada da matriz. O que se pede: o valor de \,a_{21}\,.

Passo 2

Interpretação das dimensões (explicação do conceito usado): o núcleo é gerado por dois vetores, então \dim(\ker A)=2. Pela fórmula da nulidade posto (rank-nullity) para matrizes 3\times3,
\dim(\ker A)+\dim(\operatorname{Im}A)=3.
Como \dim(\ker A)=2, segue que \dim(\operatorname{Im}A)=1. Isso está consistente com a imagem dada, que é gerada por um único vetor.

Passo 3

Observação essencial sobre as colunas: cada coluna de A pertence à imagem de A, que é o subespaço gerado por u=(-1,2,-2). Portanto cada coluna é um múltiplo escalar de u. Introduzo escalares desconhecidos x_1,x_2,x_3 tais que as colunas de A são
c_1=x_1 u,\qquad c_2=x_2 u,\qquad c_3=x_3 u.
Assim podemos representar A como produto externo
A = u\,r,
onde r=(x_1,x_2,x_3) é um vetor linha (ou seja, A tem forma u r).

Passo 4

Condição do núcleo (explicação do que isso implica): se v é um vetor do núcleo então A v=0. Com A=u r temos A v = u\,(r v). Como u\neq0, isto implica que r v=0 (produto interno escalar, resultado escalar). Logo o vetor linha r é ortogonal a todo vetor do núcleo; em particular r deve ser ortogonal às duas bases do núcleo fornecidas. Escrevo r=(r_1,r_2,r_3) e imponho:
r\cdot(-3,1,0)=0,\qquad r\cdot(-1,0,-1)=0.
Escrevendo essas igualdades:
-3r_1 + r_2 + 0\cdot r_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad r_2 = 3 r_1,
- r_1 + 0\cdot r_2 - r_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad r_3 = - r_1.
Portanto r é proporcional a (1,3,-1). Escrevo r = s(1,3,-1) para algum escalar s.

Passo 5

Agora escrevo A em termos de s. Como u=(-1,2,-2) e r=s(1,3,-1), temos
A = u\,r = s\,u\,(1,3,-1).
As entradas da matriz são obtidas pelas colunas c_j = r_j u. Explicitando r_1=s, r_2=3s, r_3=-s, as colunas são:
c_1 = s\cdot(-1,2,-2),\quad c_2 = 3s\cdot(-1,2,-2),\quad c_3 = -s\cdot(-1,2,-2).

Passo 6

Uso a informação numérica \,a_{32}=12. A entrada a_{32} é a terceira linha, segunda coluna, portanto vem de c_2. Calculando:
a_{32} = \text{terceiro componente de }c_2 = (3s)\cdot u_3 = 3s\cdot(-2) = -6s.
Impondo -6s=12 obtemos
s = -2.

Passo 7

Com s=-2 calculo as colunas explicitamente:
c_1 = s\cdot(-1,2,-2) = -2\cdot(-1,2,-2) = (2,-4,4),
c_2 = 3s\cdot(-1,2,-2) = -6\cdot(-1,2,-2) = (6,-12,12),
c_3 = -s\cdot(-1,2,-2) = 2\cdot(-1,2,-2) = (-2,4,-4).
Portanto a matriz A é
A = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2\\[4pt] -4 & -12 & 4\\[4pt] 4 & 12 & -4 \end{pmatrix}.
Verifico que a_{32}=12 bate com a condição dada. Agora a entrada pedida é \,a_{21}\,, que é a entrada da segunda linha, primeira coluna: -4.]

Resposta

(F) -4

Exercícios relacionados