Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(1,2,-1) e T(3,1)=(3,-1,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá que T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é linear e fornece duas imagens:
T(2,1)=(1,2,-1)
T(3,1)=(3,-1,-2).
Pede-se encontrar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} e, em particular, determinar o valor da entrada a_{21} da matriz A. As informações relevantes são exatamente as duas imagens acima.

Passo 2

Conceito importante (explicando como pensar na prova): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, a matriz A que representa T na base canônica de \mathbb{R}^2 tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja, se definimos
u=T(1,0),\qquad v=T(0,1),
então
A=\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix},
onde cada uma de u e v é um vetor em \mathbb{R}^3. Isso vem direto da linearidade: T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)=x u + y v.

Passo 3

Usando linearidade nas informações dadas, escrevemos as duas equações vetoriais em termos de u e v:
T(2,1)=2u+v=(1,2,-1),
T(3,1)=3u+v=(3,-1,-2).
Temos assim um sistema de duas equações vetoriais (cada uma com 3 componentes) para as incógnitas vetoriais u e v.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina v) obtemos u. Faça a conta componente a componente:
u=(3u+v)-(2u+v)=(3,-1,-2)-(1,2,-1).
Agora calcule a diferença componente a componente:
u=(3-1,\; -1-2,\; -2-(-1))=(2,\; -3,\; -1).
Portanto u=T(1,0)=\begin{bmatrix}2\\\ -3\\\ -1\end{bmatrix}.

Passo 5

Com u conhecido, volte à primeira equação para achar v:
2u+v=(1,2,-1)\quad\Rightarrow\quad v=(1,2,-1)-2u.
Substitua u:
v=\begin{bmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}2\\\ -3\\\ -1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4\\\ -6\\\ -2\end{bmatrix}.
Calcule componente a componente:
v=\begin{bmatrix}1-4\\[4pt]2-(-6)\\[4pt]-1-(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]8\\[4pt]1\end{bmatrix}.]

Passo 6

Agora montamos a matriz A cujas colunas são u e v:
A=\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 8\\[4pt]-1 & 1\end{bmatrix}.
Lembre-se: a entrada a_{21} é a entrada na segunda linha e primeira coluna, isto é exatamente a segunda componente de u.]

Passo 7

Identificando a entrada pedida: a segunda linha, primeira coluna de A é -3. Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (G).

Resposta

(G) -3

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