Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(2,1)=(1,2,-1) e T(3,1)=(3,-1,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
Passo 1
O enunciado dá que T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é linear e fornece duas imagens:
T(2,1)=(1,2,-1)
T(3,1)=(3,-1,-2).
Pede-se encontrar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} e, em particular, determinar o valor da entrada a_{21} da matriz A. As informações relevantes são exatamente as duas imagens acima.
Passo 2
Conceito importante (explicando como pensar na prova): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, a matriz A que representa T na base canônica de \mathbb{R}^2 tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja, se definimos
u=T(1,0),\qquad v=T(0,1),
então
A=\begin{bmatrix}u & v\end{bmatrix},
onde cada uma de u e v é um vetor em \mathbb{R}^3. Isso vem direto da linearidade: T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)=x u + y v.
Passo 3
Usando linearidade nas informações dadas, escrevemos as duas equações vetoriais em termos de u e v:
T(2,1)=2u+v=(1,2,-1),
T(3,1)=3u+v=(3,-1,-2).
Temos assim um sistema de duas equações vetoriais (cada uma com 3 componentes) para as incógnitas vetoriais u e v.
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina v) obtemos u. Faça a conta componente a componente:
u=(3u+v)-(2u+v)=(3,-1,-2)-(1,2,-1).
Agora calcule a diferença componente a componente: