Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 120 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado: precisamos encontrar a matriz que representa a transformação linear T R em \mathbb{R}^2, onde R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 120^\circ e T é a projeção sobre o eixo x. Informações relevantes:
Ângulo da rotação: 120^\circ.
R é aplicada primeiro e depois T (o produto T R significa T\circ R).
A projeção sobre o eixo x envia (x,y) em (x,0).
Passo 2
Fórmula da matriz de rotação e valores de seno e cosseno para 120^\circ. A matriz de rotação de ângulo \theta (no sentido anti-horário) é
Cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base canônica: a primeira coluna é R(e_1) e a segunda é R(e_2).]
Passo 4
Matriz da projeção T sobre o eixo x. A projeção T que envia (x,y)\mapsto(x,0) tem matriz (na base canônica)
T = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Expliquei: a primeira coluna é T(e_1)= (1,0) e a segunda coluna é T(e_2)=(0,0).]
Passo 5
A composição T R corresponde ao produto matricial T\cdot R. Vamos calcular explicitamente. Escrevendo:
T R = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Ao multiplicar, a primeira linha do produto é a primeira linha de T vezes as colunas de R, e a segunda linha do produto será zero (porque a segunda linha de T é (0,0)). Fazendo as contas componentes:
Primeira linha, primeira coluna: 1\cdot(-\tfrac{1}{2}) + 0\cdot(\tfrac{\sqrt{3}}{2}) = -\tfrac{1}{2}.
Primeira linha, segunda coluna: 1\cdot(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}) + 0\cdot(-\tfrac{1}{2}) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Segunda linha, qualquer coluna: 0.
Portanto
T R = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificação alternativa aplicando T R aos vetores da base (jeito conceitual, útil na prova). Primeiro coluna = (T\circ R)(e_1)=T(R(e_1)). Temos R(e_1)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} (primeira coluna de R), então T(R(e_1))=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}. Segunda coluna = (T\circ R)(e_2)=T(R(e_2)) com R(e_2)=\begin{pmatrix}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}, então T(R(e_2))=\begin{pmatrix}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}. Isso confirma a matriz encontrada:
T R = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]
Passo 7
Comparando com as opções dadas no enunciado, a matriz é exatamente a da alternativa (E).