Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2 x_{4}\right., \left.x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}, \quad-2 x_{1}-4 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2x_{4},\;x_{1}+3x_{2}+2x_{3}-4x_{4},\;-2x_{1}-4x_{2}-3x_{3}+6x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T ?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Para }(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4,\;T(x)=\bigl(\;1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3-2\cdot x_4,\;\\\ &\qquad\qquad 1\cdot x_1+3\cdot x_2+2\cdot x_3-4\cdot x_4,\;-2\cdot x_1-4\cdot x_2-3\cdot x_3+6\cdot x_4\;\bigr). \end{aligned}

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): a imagem (ou espaço-imagem) de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que aparecem como T(x) quando variamos x\in\mathbb{R}^4. A dimensão da imagem é o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem. Para uma transformação linear dada por T(x)=A x, isso é exatamente o posto (rank) da matriz A. Então vamos escrever a matriz de T e calcular o posto por eliminação de Gauss. O posto é o número de pivôs (linhas não nulas em forma escalonada), e é igual à dimensão da imagem.

Passo 3

Matriz associada A (cada coluna corresponde a coeficientes de x_1,x_2,x_3,x_4 nas componentes de T — aqui escrevemos por linhas as componentes):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 1 & 3 & 2 & -4\\[4pt] -2 & -4 & -3 & 6 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira linha é a primeira componente de T, a segunda linha a segunda componente, e assim por diante. Vamos aplicar operações elementares por linhas para achar o número de linhas independentes.]

Passo 4

Primeira operação: eliminar a entrada abaixo do pivô da primeira coluna. Subtraímos a primeira linha da segunda e somamos duas vezes a primeira à terceira:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos cada linha resultante:
R_2 = (1,3,2,-4) - (1,1,1,-2) = (0,2,1,-2),
R_3 = (-2,-4,-3,6) + 2(1,1,1,-2) = (-2,-4,-3,6) + (2,2,2,-4) = (0,-2,-1,2).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha para eliminar a segunda coluna da terceira linha. Soma-se R_2 a R_3:
R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Calculemos:
R_3 = (0,-2,-1,2) + (0,2,1,-2) = (0,0,0,0).
A matriz escalonada obtida é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação: há exatamente duas linhas não nulas na forma escalonada, isto é, dois pivôs (um pivot na coluna 1 e outro na coluna 2). Portanto o posto (rank) da matriz A é 2. Pelo conceito explicado antes, a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, isto é, 2.

Resposta

(C) 2

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