Conceito chave (explicação didática): a imagem (ou espaço-imagem) de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que aparecem como T(x) quando variamos x\in\mathbb{R}^4. A dimensão da imagem é o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem. Para uma transformação linear dada por T(x)=A x, isso é exatamente o posto (rank) da matriz A. Então vamos escrever a matriz de T e calcular o posto por eliminação de Gauss. O posto é o número de pivôs (linhas não nulas em forma escalonada), e é igual à dimensão da imagem.
Passo 3
Matriz associada A (cada coluna corresponde a coeficientes de x_1,x_2,x_3,x_4 nas componentes de T — aqui escrevemos por linhas as componentes):
Explicando: a primeira linha é a primeira componente de T, a segunda linha a segunda componente, e assim por diante. Vamos aplicar operações elementares por linhas para achar o número de linhas independentes.]
Passo 4
Primeira operação: eliminar a entrada abaixo do pivô da primeira coluna. Subtraímos a primeira linha da segunda e somamos duas vezes a primeira à terceira:
Interpretação: há exatamente duas linhas não nulas na forma escalonada, isto é, dois pivôs (um pivot na coluna 1 e outro na coluna 2). Portanto o posto (rank) da matriz A é 2. Pelo conceito explicado antes, a dimensão da imagem de T é igual ao posto de A, isto é, 2.