Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(3,2)=(2,-2,1) e T(2,1)=(3,1,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(3,2) = (2,-2,1)
T(2,1) = (3,1,-2)
Pergunta: determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em especial, qual é a entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) dessa matriz. Essas são todas as informações relevantes fornecidas.
Passo 2
Vamos representar a matriz A como uma matriz 3\times 2 cujas colunas são vetores desconhecidos de \mathbb{R}^3. Escrevo
onde u=(u_1,u_2,u_3)^T é a primeira coluna de A e v=(v_1,v_2,v_3)^T é a segunda coluna. Explicação didática: para qualquer (x,y) temos T(x,y)=x\,u+y\,v. Portanto, conhecer u e v é o mesmo que conhecer A.]
Passo 3
Usando a expressão T(x,y)=x\,u+y\,v aplicamos aos vetores dados:
T(3,2)=3u+2v=(2,-2,1),
T(2,1)=2u+1v=(3,1,-2).
Essas são duas equações vetoriais em \mathbb{R}^3 que nos permitem resolver para u e v.
Observação (importante para a prova): a entrada a_{21} é a componente da segunda linha e primeira coluna, isto é a segunda componente de u. Nós encontramos essa segunda componente igual a 4. (A resposta final é colocada apenas na seção de resposta, conforme pedido.)]