Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(3,2)=(2,-2,1) e T(2,1)=(3,1,-2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(3,2) = (2,-2,1)
T(2,1) = (3,1,-2)
Pergunta: determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em especial, qual é a entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) dessa matriz. Essas são todas as informações relevantes fornecidas.

Passo 2

Vamos representar a matriz A como uma matriz 3\times 2 cujas colunas são vetores desconhecidos de \mathbb{R}^3. Escrevo
A=\begin{pmatrix} u_1 & v_1\\[4pt] u_2 & v_2\\[4pt] u_3 & v_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \;u\;&\;v\; \end{pmatrix},
onde u=(u_1,u_2,u_3)^T é a primeira coluna de A e v=(v_1,v_2,v_3)^T é a segunda coluna. Explicação didática: para qualquer (x,y) temos T(x,y)=x\,u+y\,v. Portanto, conhecer u e v é o mesmo que conhecer A.]

Passo 3

Usando a expressão T(x,y)=x\,u+y\,v aplicamos aos vetores dados:
T(3,2)=3u+2v=(2,-2,1),
T(2,1)=2u+1v=(3,1,-2).
Essas são duas equações vetoriais em \mathbb{R}^3 que nos permitem resolver para u e v.

Passo 4

Da segunda equação isolamos v:
2u+v=(3,1,-2)\quad\Longrightarrow\quad v=(3,1,-2)-2u.
Isso é só álgebra vetorial: subtrai-se 2u dos dois lados para obter v.

Passo 5

Substituímos v na primeira equação:
3u+2v=3u+2\bigl((3,1,-2)-2u\bigr)=(2,-2,1).
Agora desenvolvemos o parêntese e simplificamos passo a passo:
3u+2(3,1,-2)-4u=(2,-2,1).
Calcule 2(3,1,-2)=(6,2,-4). Então
3u+(6,2,-4)-4u=(2,-2,1).
Agrupando 3u-4u=-u, obtemos
-u+(6,2,-4)=(2,-2,1).
Isolando -u:
-u=(2,-2,1)-(6,2,-4).
Efetuando a subtração coordenada a coordenada:
(2,-2,1)-(6,2,-4)=(2-6,\,-2-2,\;1-(-4))=(-4,-4,5).
Portanto
-u=(-4,-4,5)\quad\Longrightarrow\quad u=(4,4,-5).

Passo 6

Agora voltamos e calculamos v usando v=(3,1,-2)-2u. Primeiro calcule 2u=2(4,4,-5)=(8,8,-10). Então
v=(3,1,-2)-(8,8,-10)=(3-8,\;1-8,\;-2-(-10))=(-5,-7,8).

Passo 7

Agora já temos as duas colunas de A:
u=\begin{pmatrix}4\\[2pt]4\\[2pt]-5\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}-5\\[2pt]-7\\[2pt]8\end{pmatrix}.
Logo a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 4 & -5\\[4pt] 4 & -7\\[4pt] -5 & 8 \end{pmatrix}.
Observação (importante para a prova): a entrada a_{21} é a componente da segunda linha e primeira coluna, isto é a segunda componente de u. Nós encontramos essa segunda componente igual a 4. (A resposta final é colocada apenas na seção de resposta, conforme pedido.)]

Resposta

4

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