Q8:Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}:
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(C) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(D) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.

Passo 1

O enunciado dá: \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} é um conjunto linearmente independente (LI) e \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} também é LI. Existe uma matriz A de tamanho 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\quad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\quad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
A pergunta (do tipo múltipla escolha) pede que escolhamos qual das afirmativas (A)–(F) é correta com base nessas informações.

Passo 2

Primeiro vamos entender bem o que significa ter três vetores LI em \mathbb{R}^{3}.
Explicação didática: dizer que \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é LI em \mathbb{R}^{3} significa que a única combinação linear
\alpha_{1}\vec{x}_{1}+\alpha_{2}\vec{x}_{2}+\alpha_{3}\vec{x}_{3}=\vec{0}
que dá o vetor nulo ocorre quando \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Em \mathbb{R}^{3}, um conjunto de três vetores LI forma uma base do espaço. Isso implica que qualquer vetor \vec{v}\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito de forma única como combinação linear dos \vec{x}_{i}. O mesmo vale para \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}.

Passo 3

Agora vamos organizar as informações em matrizes coluna — isso é a linguagem prática para trabalhar com transformações lineares. Defina as matrizes
X=\begin{pmatrix}\vline & \vline & \vline\\\ \vec{x}_{1} & \vec{x}_{2} & \vec{x}_{3}\\\ \vline & \vline & \vline\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}\vline & \vline & \vline\\\ \vec{b}_{1} & \vec{b}_{2} & \vec{b}_{3}\\\ \vline & \vline & \vline\end{pmatrix},
ou seja, X tem como colunas os \vec{x}_{i} e B tem como colunas os \vec{b}_{i}. Como cada conjunto de colunas é LI em \mathbb{R}^{3}, ambas as matrizes X e B são invertíveis (determinante não nulo). Vou explicar: uma matriz 3\times3 tem colunas LI se, e somente se, ela for invertível; isto é uma equivalência padrão em álgebra linear.

Passo 4

A condição dada A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} para i=1,2,3 pode ser escrita em bloco como
A X = B.
Isso é porque multiplicar A pela matriz X aplica A a cada coluna de X, produzindo as colunas de B. Agora, como X é invertível, podemos isolar A:
A = B X^{-1}.
Interpretação didática: isto mostra que existe pelo menos uma matriz A que faz esse mapeamento — basta construir A assim — e também dá uma fórmula explícita para ela.

Passo 5

Vamos mostrar que A é única. Suponha que existam duas matrizes A_1 e A_2 que satisfaçam as mesmas igualdades nas três colunas. Então
A_1 X = B \quad\text{e}\quad A_2 X = B.
Subtraindo, (A_1-A_2)X=\mathbf{0}. Como X é invertível, multiplicamos à direita por X^{-1} e obtemos A_1-A_2=\mathbf{0}, logo A_1=A_2. Conclusão: a matriz A que satisfaz as condições existe e é única.

Passo 6

Agora examine as propriedades de A. Como A=B X^{-1} e tanto B quanto X^{-1} são invertíveis, o produto de matrizes invertíveis é invertível. Portanto A é invertível. Explicando mais devagar: se M e N são invertíveis, existe M^{-1} e N^{-1} e (MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}. Aplicando isso, A^{-1}=X B^{-1}.

Passo 7

O que isso implica sobre as equações A\vec{x}=\vec{b} para um vetor qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^{3}? Se A é invertível, então para cada \vec{b} existe exatamente um \vec{x} dado por
\vec{x}=A^{-1}\vec{b}.
Ou seja, o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^{3}. Didaticamente: invertibilidade de A é exatamente a garantia de existência e unicidade da solução para todo vetor do espaço-alvo.

Passo 8

Resumo das conclusões que respondem a alternativa: a matriz A que satisfaz A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} existe (construída por A=BX^{-1}) e é única; além disso A é invertível, então para qualquer \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução única. Portanto a alternativa correta é a que afirma que existe solução única para qualquer \vec{b}.

Resposta

(A)

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