Q8:Sejam
um conjunto LI e
um conjunto LI. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(D) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(E) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(F) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Não se pode afirmar se existe ou não tal
(C) Pode-se afirmar que não existe tal
(D) Pode-se afirmar que
(E) Pode-se afirmar que
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá:
é um conjunto linearmente independente (LI) e
também é LI. Existe uma matriz
de tamanho
tal que
A pergunta (do tipo múltipla escolha) pede que escolhamos qual das afirmativas (A)–(F) é correta com base nessas informações.
Passo 2
Primeiro vamos entender bem o que significa ter três vetores LI em
.
Explicação didática: dizer que é LI em
significa que a única combinação linear
Explicação didática: dizer que
que dá o vetor nulo ocorre quando
. Em
, um conjunto de três vetores LI forma uma base do espaço. Isso implica que qualquer vetor
pode ser escrito de forma única como combinação linear dos
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora vamos organizar as informações em matrizes coluna — isso é a linguagem prática para trabalhar com transformações lineares. Defina as matrizes
ou seja,
tem como colunas os
e
tem como colunas os
. Como cada conjunto de colunas é LI em
, ambas as matrizes
e
são invertíveis (determinante não nulo). Vou explicar: uma matriz
tem colunas LI se, e somente se, ela for invertível; isto é uma equivalência padrão em álgebra linear.
Passo 4
A condição dada
para
pode ser escrita em bloco como
Isso é porque multiplicar
pela matriz
aplica
a cada coluna de
, produzindo as colunas de
. Agora, como
é invertível, podemos isolar
:
Interpretação didática: isto mostra que existe pelo menos uma matriz
que faz esse mapeamento — basta construir
assim — e também dá uma fórmula explícita para ela.
Passo 5
Vamos mostrar que
é única. Suponha que existam duas matrizes
e
que satisfaçam as mesmas igualdades nas três colunas. Então
Subtraindo,
. Como
é invertível, multiplicamos à direita por
e obtemos
, logo
. Conclusão: a matriz
que satisfaz as condições existe e é única.
Passo 6
Agora examine as propriedades de
. Como
e tanto
quanto
são invertíveis, o produto de matrizes invertíveis é invertível. Portanto
é invertível. Explicando mais devagar: se
e
são invertíveis, existe
e
e
. Aplicando isso,
.
Passo 7
O que isso implica sobre as equações
para um vetor qualquer
? Se
é invertível, então para cada
existe exatamente um
dado por
Ou seja, o sistema linear
tem solução única para qualquer
. Didaticamente: invertibilidade de
é exatamente a garantia de existência e unicidade da solução para todo vetor do espaço-alvo.
Passo 8
Resumo das conclusões que respondem a alternativa: a matriz
que satisfaz
existe (construída por
) e é única; além disso
é invertível, então para qualquer
o sistema
tem solução única. Portanto a alternativa correta é a que afirma que existe solução única para qualquer
.
Resposta
(A)